辛流形

辛流形是指带有一个非退化 -形式光滑流形, 这样的 -形式称为辛形式, 也称为流形的辛结构.

辛流形的概念来源于经典力学. 在 Hamilton 力学中, 以质点的位置、动量描述质点的状态, 所有可能的状态构成的空间称为构形空间, 而该空间自然是辛流形. 用几何的语言说, 就是以流形的余切丛作为构形空间, 而流形的余切丛具有自然的辛结构.

研究辛流形的学科称为辛几何辛拓扑.

1定义

定义 1.1 (辛流形). 辛流形指二元组 , 其中

光滑流形, 其中 是自然数.

上的 -形式, 称为辛形式, 满足以下条件:

闭形式: .

非退化 -形式, 即满足下列等价条件:

在每点 , 诱导的切空间 上的双线性型都是非退化双线性型.

在每点 , 赋予切空间 辛向量空间的结构.

-形式 () 在 的每点处都非零.

2例子

辛向量空间

余切丛

Kähler 流形

3相关概念

近辛流形

Poisson 流形

术语翻译

辛流形英文 symplectic manifold德文 symplektische Mannigfaltigkeit (f)法文 variété symplectique (f)

辛形式英文 symplectic form德文 symplektische Form (f)法文 forme symplectique (f)

辛结构英文 symplectic structure德文 symplektische Struktur (f)法文 structure symplectique (f)