简单同伦型

简单同伦型是简单同伦论的基本研究对象, 是有限单纯复形或有限 CW 复形按特定初等操作划分的等价类. 对这类空间而言, 简单同伦型是比同伦型更细致的不变量.

1定义

几何拓扑定义

定义 1.1 (坍塌). 设 $K$ 是单纯复形, $\tau ⫋\sigma$ 是其两个面, 满足包含 $\tau$ 的每个面都包含于 $\sigma$. 则定义 $K$ 沿 $\tau$ 的坍塌为 $K$ 去掉所有真包含 $\tau$ 而包含于 $\sigma$ 的面. 如 $K$ 可经有限个坍塌变为单点, 则称 $K$ 为可塌.

(有没有画图大师作个示意图.)

注 1.2. $K$ 沿 $\tau$ 的坍塌是 $K$ 的强形变收缩, 因此可塌的单纯复形必然可缩. 反之不然, 见傻瓜帽与两房厅.

定义 1.3 (简单同伦型). 两个有限单纯复形 $K$ 与 $L$ 之间的简单同伦指一列有限单纯复形 $K=K_0,K_1,\dots ,K_n=L$, 使得对 $i=1,\dots ,n$, 要么 $K_i$ 是 $K_{i-1}$ 的坍塌, 要么 $K_{i-1}$ 是 $K_i$ 的坍塌. 简单同伦型指有限单纯复形关于简单同伦构成的等价类.

注 1.4. 因此简单同伦的单纯复形必然同伦等价. 反之不然, 见 Wall 障碍.

使用高阶范畴论, 可把同伦型升级为生象构成的 $(\infty ,1)$-范畴, 空间的同伦论因而成为生象范畴的理论. 简单同伦型并无良好的映射概念, 只能升级为 $\infty$-群胚.

定义 1.5 (高阶简单同伦型). 定义单纯集 $\mathcal{M}$ 如下:

•	对 $n\in \mathbb{N}$, $\mathcal{M}$ 的一个 $n$ 维单形为一个紧分片线性子空间 $K\subseteq {\mathbb{R}}^{\infty }\times {\Delta }^n$, 使得自然投影 $K\to {\Delta }^n$ 为分片线性纤维化. 换言之, $\mathcal{M}([n])$ 为这样的 $K$ 组成的集合. 这里 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 指 ${\bigcup }_{d=0}^{\infty }{\mathbb{R}}^d$, ${\Delta }^n$ 指 $n$ 维标准单形, 均视为分片线性空间.
•	保序映射 $[m]\to [n]$ 通过几何实现给出标准单形的映射 ${\Delta }^m\to {\Delta }^n$, 对应的映射 $\mathcal{M}([n])\to \mathcal{M}([m])$ 为纤维化的拉回.

称 $\mathcal{M}$ 代表的 $\infty$-群胚为简单同伦型的 $\infty$-群胚, 简单同伦型则指 $\mathcal{M}$ 的点.

注 1.6. 这里使用 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 的子空间是为了避免集合论麻烦. 直观上可以把 $\mathcal{M}([n])$ 想成 ${\Delta }^n$ 上 “相对简单同伦型” 的集合.

注 1.7. 定义 1.5 与定义 1.3 的一致性依赖于如下一些命题:

•	紧分片线性空间的不同单纯剖分在定义 1.3 的意义下简单同伦.
•	如 $K\to {\Delta }^1$ 为分片线性纤维化, 则 $0,1\in {\Delta }^1$ 的纤维 $K_0,K_1$ 在定义 1.3 的意义下简单同伦.

这些虽不显然, 但都是正确的.

同伦论定义

简单同伦型也有从生象出发的纯同伦论定义, 使用聚集映射.

定义 1.8 (简单同伦型). 简单同伦型指数据 $(X,\chi )$, 其中 $X\in {\mathsf{Ani}}^{{\aleph }_0}$ 为紧生象, $\chi \in {\Omega }^{\infty }(K(\mathsf{Sp})\otimes X)$ 为常层 $1_X\in {\mathsf{Sp}}^X$ 的 $K$ 类沿聚集映射 $K(\mathsf{Sp})\otimes X\to K({\mathsf{Sp}}^X)$ 的提升.

注 1.9. 对紧生成稳定 $\infty$-范畴 $\mathcal{C}$, 这里用 $K(\mathcal{C})$ 表示小范畴 ${\mathcal{C}}^{{\aleph }_0}$ 的代数 $K$ 理论. 这样的好处是可以推广到 $\mathcal{C}$ 为紧聚集范畴.

注 1.10. 定义 1.8 的简单同伦型显然构成 $\infty$-群胚, 虽然它和定义 1.5 的 $\mathcal{M}$ 的等价性很不显然.

2性质

定理 2.1. 设 $K$ 是紧的绝对邻域收缩. 则 $K$ 典范决定简单同伦型 $(\mathrm{h}K,{\chi }_K)$, 其中 $\mathrm{h}K$ 为 $K$ 的同伦型, 视为生象.

3相关概念

•	聚集映射
•	分片线性空间
•	代数 $K$ 理论

术语翻译

简单同伦型 • 英文 simple homotopy type

坍塌 • 英文 collapse

可塌 • 英文 collapsible