用户: Ice1000/光滑无穷小分析

1你懂吗

定义 1.1. 方幂零元或称无穷小 使得 . 构造主义逻辑中, 该量不一定为 . 标准实分析中, .

这只是一种意义上的无穷小, 和超现实数那些的不一样. 把这东西加进实数, 记作 .

注 1.2. 实际上这个说法是错的, 我们不能把什么东西随便加进实数, 除非这是一个域扩张. 但 Kokic 跟我说这里构不成域扩张, 因此这只能构成是一个理解的方法, 实际操作的时候要换成别的东西, 好像得是一个环.

记无穷小构成的集合为 .

命题 1.3 (Kock-Lawrence). 对于任何 , 存在 使得 的图像过 且斜率为 , 换言之

注意 不能弯曲, 只能平移旋转, 且不是一个点, 却又没有长度.

推论 1.4. 任何 都是仿射函数.

定理 1.5.

换言之, 我们有足够多的无穷小来探测两个实数是否相等.

定义 相邻当且仅当两者相差一个无穷小, 这样就可以讨论函数的连续性.

定理 1.6. 任意函数 都是连续函数.

证明. 对于输入 , 输出 相差 . 至于 是多少不重要, 反正是实数就行.

直觉上来说, 应该是塞了很多个新的东西进实数导致所有函数都惨遭连续.

微积分中的常见定理都成立, 例如一些求导规则, 还有微积分基本定理, 证明略.

定义 1.7. 为函数 上的静止点若如下条件成立:

这意味着 , 也就是说 .

命题 1.8 (假设). 若对于区间 上的所有点都是 的静止点, 那么 常函数.

定理 1.9. 不存在两个非空集合 同时满足 , .

证明. 若存在这样的划分, 令 的元素取值为 , 的元素取值为 , 可以推出 是常函数. 考虑 的取值, 其中 . 根据连续性, 这俩取值不可能不相等, 因此 是一个静止点. 因此任何点都是 上的静止点, 因此 是常函数.

代数结构

定理 1.10. 上有结构.

注意, 都有乘法逆元, 但所有的无穷小量都不满足 , 因此它们不需要 (也没有) 乘法逆元.

定理 1.11. 上有偏序结构, 没有全序结构.

命题 1.12. 这三个邻域的定义分别为代数邻域, 逻辑邻域, 序邻域.

自然数

定义 1.13. 自然数 中包含 , 且在 操作下闭合的最小集合.

注意 不一定满足 Archimedes 原理.

定义 1.14. 光滑自然数 定义为

将 Archimedes 原理中的自然数换为光滑自然数后, 便满足这个版本的 Archimedes 原理.