用户: 数学迷/大 Cohen–Macaulay 代数

Cohen–Macaulay 是交换代数中的重要性质.

定义 1. $(R,\mathfrak{m},k)$ 是 Noether 局部环, 维数为 $d$. 其 Cohen–Macaulay 模指其上模 $M$, 满足 $\mathfrak{m}M⫋M$, 且 $R$ 的任意参数系都是关于 $M$ 的正则序列. 这样的 $M$ 如有限生成, 则称为小 Cohen–Macaulay 模, 否则称为大 Cohen–Macaulay 模. $R$ 代数如作为模是 (大、小) Cohen–Macaulay, 就称其为 $R$ 上 (大、小) Cohen–Macaulay 代数.

Melvin Hochster [1] 在 70 年代提出如下猜想, 现已被 Yves André 在 [2], [3] 中证明:

定理 2. 设 $R,R^{\prime }$ 是 Noether 局部整环, $R\to R^{\prime }$ 是局部同态. 则关于大 Cohen–Macaulay 代数有如下结论:

存在性	$R$ 上有大 Cohen–Macaulay 代数 $C$.
弱函子性	存在 $R$ 上大 Cohen–Macaulay 代数 $C$ 与 $R^{\prime }$ 上大 Cohen–Macaulay 代数 $C^{\prime }$ 以及映射 $C\to C^{\prime }$ 使得图表$$R{R}^{\prime }C{C}^{\prime }$$交换.

注 3. 用 $R/\mathfrak{p}$ 代替 $R$ 可以发现存在性并不需要 $R$ 是整环. 在弱函子性中确实需要这一点, 更确切而言是态射的某种 “均维” 性. 比如, 设 $R=k[x,y,z]/(xz,yz)$, $R^{\prime }=R/(x,y)$. 那么尽管 $x$ 是零因子, 但 $x,y+z$ 是 $R$ 上的参数系, 从而在 $R$ 的任何平衡 Cohen–Macaulay 代数上 $x$ 不是零因子, 因而 $z=0$. 但 $z$ 是 $R^{\prime }$ 的参数, 因此不可能有弱函子性质中的交换图表.

此定理是同调猜想中较强的一个, 在交换代数和代数几何中十分重要. 这里呈现其一个证明, 大体遵循 [4] 中精神, 但不用解析完美胚环, 而用整完美胚环.

首先作些化归. 注意如 $(R,\mathfrak{m},k)\to (R^{\prime },{\mathfrak{m}}^{\prime },k^{\prime })$ 是同维数 Noether 局部环的局部同态, 满足 ${\mathfrak{m}}^{\prime }=\sqrt{\mathfrak{m}{R}^{\prime }}$, 则 $R^{\prime }$ 的 Cohen–Macaulay 模、代数也是 $R$ 的 Cohen–Macaulay 模、代数. 由此可设这里的局部环都是完备整环, 剩余域代数闭. 对弱函子性命题, 取 Cohen 分解还可假设 $R\to R^{\prime }$ 为满射. 以下先证剩余域特征 $p$ 情形, 再将特征 $0$ 化归到它.

由 Cohen 结构定理, 可设 $R=S/P$, 其中 $R$ 纯特征时 $S=k[[z_0,\dots ,z_n]]$, 混特征时 $S=W(k)[[z_1,\dots ,z_n]]$, $P$ 是素理想, $\mathrm{ht}P=h=n+1-d$. 由于 $S$ 为正则, 特别地 Cohen–Macaulay, 可在 $P$ 中取长度为 $h$ 的正则序列 $f_1,\dots ,f_h$. 首先

引理 4. 存在元素 $g\notin P$, 满足 $gP\subseteq \sqrt{(f_1,\dots ,f_h)}$.

证明. 由于 $\mathrm{ht}P=h=\mathrm{ht}(f_1,\dots ,f_h)$, $P$ 也是 $(f_1,\dots ,f_h)$ 上极小素理想. 所以 $S_P/(f_1,\dots ,f_h)$ 为局部 Artin 环, $P$ 在其中幂零. 这样便有 $P{S}_P=\sqrt{(f_1,\dots ,f_h)}{S}_P$, 于是存在 $g\notin P$ 使得 $gP\subseteq \sqrt{(f_1,\dots ,f_h)}$.

$\square$

由于 $S$ 为正则, 可取绝对整闭完美胚环 $S_{\infty }$ 在 $S$ 上忠实平坦, 比如令 $S_{\infty ,0}=\widehat{W(k)[{\mu }_{p^{\infty }}]}[[z_1^{p^{-\infty }},\dots ,z_n^{p^{-\infty }}]]$, 再用 [5] 定理 7.12 取出 $S_{\infty ,0}$ 的绝对整闭的归纳完全交扩张为 $S_{\infty }$. 在 $S_{\infty }$ 中取 $f_1,\dots ,f_h,g$ 的各一组相容 $p^{\infty }$ 次根号, 记作 $f_i^{p^{-N}}$, $g^{p^{-N}}$. 再记 $P_{\infty }=(P{S}_{\infty }{)}_{\text{perfd}}$, 其中 $\text{perfd}$ 如 [5], 10.1 中记号. 由 [5], 定理 7.4 的证明可以发现 $((f_1,\dots ,f_h)S_{\infty }{)}_{\text{perfd}}=(f_1^{p^{-\infty }},\dots ,f_h^{p^{-\infty }}{)}_p^{-}$, 其中 $(-{)}_p^{-}$ 表示取 $p$ 进闭包. 这样由引理有$$(g^{p^{-\infty }})P_{\infty }\subseteq (f_1^{p^{-\infty }},\dots ,f_h^{p^{-\infty }}{)}_p^{-}\subseteq P_{\infty }.$$以下将 $(g^{p^{-\infty }})$-几乎称为 $g$-几乎. 记 $A=S_{\infty }/P_{\infty }$, 则它是 $R=S/P$ 上代数, 且为完美胚.

引理 5. $A$ 为 $g$-几乎 Cohen–Macaulay $R$-代数. 即 $A/\mathfrak{m}A$ 不是 $g$-几乎零, 且 $R$ 的任意一组参数系在 $A$ 中都是 $g$-几乎正则序列.

证明. 任取 $S$ 中元素 $x_1,\dots ,x_d$ 使其在 $R$ 中的像是 $R$ 的一组参数系, 先证明其在 $A$ 中是 $g$-几乎正则序列. 则由 $B\to A$ 为 $g$-几乎同构, 只需证 $x_1,\dots ,x_d$ 在 $B$ 中是正则序列. 记 $B_N=S_{\infty }/(f_1^{p^{-N}},\dots ,f_h^{p^{-N}})$, 则 $B=({\mathrm{colim}}_N{B}_N{)}_p^{\wedge }$ 且为导出完备化. 故只需证 $x_1,\dots ,x_d$ 在 $B_N$ 中是正则序列. 这就简单了: $S$ 本身 Cohen–Macaulay, 所以 $f_1,\dots ,f_h,x_1,\dots ,x_d$ 是 $S$ 中正则序列; 由 $S\to S_{\infty }$ 忠实平坦, 它也是 $S_{\infty }$ 中正则序列; 于是 $f_1^{p^{-N}},\dots ,f_h^{p^{-N}},x_1,\dots ,x_d$ 也是 $S_{\infty }$ 中正则序列, 故 $x_1,\dots ,x_d$ 是 $B_N$ 中正则序列, 即得欲证.

以 $\mathfrak{n}$ 记 $S$ 的极大理想, 则 $\mathfrak{m}=\mathfrak{n}/P$. 欲证 $A/\mathfrak{m}A=A/\mathfrak{n}A$ 不是 $g$-几乎零, 只需证 $B/\mathfrak{n}B$ 不是 $g$-几乎零. 首先它至少非零, 因为 $S\to S_{\infty }$ 忠实平坦推出 $S_{\infty }/\mathfrak{n}{S}_{\infty }$ 非零, 于是 $(S_{\infty }/\sqrt{\mathfrak{n}{S}_{\infty }}{)}_p^{\wedge }$ 非零, 而 $B/\mathfrak{n}B$ 打满它. 现用 Cohen 结构定理取 $S$ 的完备正则 $d$ 维子环 $T$, 使得复合映射 $T\hookrightarrow S\twoheadrightarrow R$ 有限, 记 $\mathfrak{p}=\mathfrak{n}\cap T=(x_1,\dots ,x_d)$ 为 $T$ 的极大理想. 则不难发现 $T$ 的参数系 $x_1,\dots ,x_d$ 在 $R$ 中的像是 $R$ 的参数系, 故由前所证有 $B$ 在 $T$ 上 Cohen–Macaulay. 而 $T$ 为正则, 由奇迹平坦知 $B$ 在 $T$ 上忠实平坦. 现用反证法, 设 $B/\mathfrak{n}B$ 为 $g$-几乎零. 由于 $f_1,\dots ,f_h,x_1,\dots ,x_d$ 是 $S$ 的参数系, 而 $f_1,\dots ,f_h$ 在 $B$ 中已经是 $0$, 故 $B/\mathfrak{p}B$ 也已 $g$-几乎零, 即 $(g^{p^{-\infty }})\subseteq \mathfrak{p}B$. 两边 $N$ 次方再交 $T$, 由忠实平坦得 $(g^{p^{-\infty }})\cap T\subseteq {\mathfrak{p}}^N$. 再对 $N$ 取交得 $(g^{p^{-\infty }})\cap T=0$. 但由于 $g\notin P$, $g$ 在 $R$ 中非零; $T\to R$ 有限, $(g)\cap T\ne 0$, 矛盾! 故 $B/\mathfrak{n}B$ 不是 $g$-几乎零.

$\square$

注 6. 以上证明中 $A/\mathfrak{m}A$ 几乎非零的部分略有问题, 所涉及的三个环为但 $B$ 并不是 $R$ 代数, 因此 $gR\cap T\ne 0$ 也不能说明 $gB\cap T\ne 0$. 在 [3], 2.5.1.(2) 中给出了几乎非零性正确的证明.

这样便找到了 $g$-几乎大 Cohen–Macaulay 代数. 以下神奇的乘积技巧来自 Gabber [6], 从 $g$-几乎大 Cohen–Macaulay 代数得到真正的大 Cohen–Macaulay 代数.

引理 7. 令 $C=S_g^{-1}{A}^{\mathbb{N}}$, 其中$$S_g=\{(g^{a_i}{)}_{i\in \mathbb{N}}\mid a_i\in \mathbb{Z}[1/p{]}_{>0},\underset{i\to \infty }{\lim }{a}_i=0\}.$$则 $C$ 是 Cohen–Macaulay $R$-代数.

证明. 由于 $A/\mathfrak{m}A$ 不是 $g$-几乎 $0$, 有 $A^{\mathbb{N}}/\mathfrak{m}{A}^{\mathbb{N}}=(A/\mathfrak{m}A{)}^{\mathbb{N}}$ 不被 $S_g$ 零化, 所以 $C/\mathfrak{m}C\ne 0$.

任取 $R$ 的参数系 $x_1,\dots ,x_d$, 要证明它是 $C$ 的正则序列. 由于无穷乘积与取核交换, 由条件有 $x_r:(A/(x_1,\dots ,x_{r-1})A{)}^{\mathbb{N}}\to (A/(x_1,\dots ,x_{r-1})A{)}^{\mathbb{N}}$ 的核每个分量都被 $(g^{p^{-\infty }})$ 零化. 特别地, 对任意 $i\in \mathbb{N}$, $a_i\in \mathbb{Z}[1/p{]}_{>0}$, 其第 $i$ 个分量被 $g^{a_i}$ 零化. 这样就有 $x_1,\dots ,x_d$ 是 $C$ 的正则序列, 此即欲证.

$\square$

这样便得到存在性. 同样方法做弱函子性并不困难, 只需要观察到如下的事实:

•	在 Gabber 构造中, 假设 $A$ 是 $p$-无挠或特征 $p$ 的完美胚代数, 那么 $C$ 的 $p$-进完备化也是完美胚代数. 而 $A/A[\sqrt{pA}]$ 是 $p$-无挠或特征 $p$ 的, 并且 $p$-几乎同构于 $A$. 因此我们得到 $R$ 上总有完美胚大 Cohen–Macaulay 代数.
•	对于满射 $R\to R^{\prime }$, 从 $R$ 上完美胚大 Cohen–Macaulay 代数出发构造 $R^{\prime }$ 上的完美胚大 Cohen–Macaulay 代数, 便近似于存在性的证明. 有鉴于 $R$ 未必 Cohen–Macaulay, 为了有引理 4, 我们每次商去高度为 $1$ 的素理想.

具体而言, 完全平行于存在性的构造, 我们可以证明

命题 8. 设 $R$ 是 Noether 局部整环, $R\to C$ 使得

•	$C$ 为 $R$ 上的大 Cohen–Macaulay 完美胚,
•	$R$ 的元素在 $C$ 中有相容的 $p$-次根.

若 $R^{\prime }=R/\mathfrak{p}$, 其中 $\mathfrak{p}$ 为在 $R$ 中高度 $1$ 的素理想, 那么存在交换图表使得 $C^{\prime }$ 为 $R^{\prime }$ 上的大 Cohen–Macaulay 代数, 并且 $C^{\prime }$ 也满足条件 1,2.

由此不断归纳, 便可以证明弱函子性.

注 9. Bhargav Bhatt 在 [7] 中证明了, 对剩余域特征 $p$ 的完备 Noether 局部整环 $R$, 其绝对整闭包的 $p$-完备化就是其上 Cohen–Macaulay 代数. 有这一点, 弱函子性便是显然的.

最后考虑剩余域特征 $0$ 情形. 由 Cohen 结构定理, 此时 $R=S/P$, $S=k[[z_0,\dots ,z_n]]$, $k$ 为 $\mathbb{Q}$ 添加一些变元的代数闭包. 接下来遵循 [8] 中办法, 用超积把问题化归到特征 $p$. 仍以 $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$ 分别记 $R,S$ 的极大理想.

首先由 Artin–Popescu 逼近定理, $S={\mathrm{colim}}_{i\in I}{A}_i$ 是 $\mathbb{Z}[z_0,\dots ,z_n]$ 上光滑代数的正向极限. 首先取 $I$ 上超滤子 $\mathcal{U}$, 使得其包含所有形如 $\{i\in I\mid i>i_0\}$ 的集合. 这可以做到, 因为这样的集合构成滤子. 然后对每个 $i\in I$, 取 $A_i/(z_0,\dots ,z_n)$ 的一个极大理想, 则其剩余域为有限域, 设为特征 $p_i$, 并记 $S_i=\overline{{\mathbb{F}}_{p_i}}[[z_0,\dots ,z_n]]$; 然后由于 ${\mathbb{F}}_{p_i}[z_0,\dots ,z_n]\to A_i/p_i$ 为光滑, $S_i$ 为严格 Hensel, 故存在 ${\mathbb{F}}_{p_i}[z_0,\dots ,z_n]$-同态 $A_i/p_i\to S_i$. 以 ${\phi }_i$ 记复合映射 $A_i\to A_i/p_i\to S_i$. 则由构造, $({\phi }_i{)}_{i\in I}$ 给出从 $S$ 到超积 $S_{\mathcal{U}}={\prod }_{\mathcal{U}}{S}_i$ 的 $\mathbb{Z}[z_0,\dots ,z_n]$-同态.

以下提及 “一阶”, 所指语言都是环的一阶语言, 附带常量 $z_0,\dots ,z_n$; 提及 $I$ 的一个子集是 “几乎所有”, 指的都是该子集属于超滤子 $\mathcal{U}$.

引理 10. $S_{\mathcal{U}}$ 是极大理想为 $(z_0,\dots ,z_n)$ 的严格 Hensel 局部环, 映射 $S\to S_{\mathcal{U}}$ 为忠实平坦.

证明. 由于各 $S_i$ 都是极大理想为 $(z_0,\dots ,z_n)$ 的严格 Hensel 局部环, 而这是一阶性质, 故 $S_{\mathcal{U}}$ 也是如此. 至于忠实平坦, 由奇迹平坦, 只需证 $S_{\mathcal{U}}$ 为 Cohen–Macaulay $S$-模. $\mathfrak{n}{S}_{\mathcal{U}}$ 作为 $S_{\mathcal{U}}$ 的极大理想自然真包含于 $S_{\mathcal{U}}$. 要证 $S$ 的任一参数系在 $S_{\mathcal{U}}$ 都是正则序列. 由以下引理, 只需证 $z_0,\dots ,z_n$ 在 $S_{\mathcal{U}}$ 是正则序列, 且正则序列的任意置换还是正则序列. 注意各 $S_i$ 显然满足这两点, 而这两点都是一阶性质, 引理得证.

$\square$

引理 11. $S$ 是 Noether 局部环, $M$ 是 $S$-模. 如 $S$ 的一组参数系是 $M$-正则序列, 且 $M$-正则序列的任意调换还是 $M$-正则序列, 那么 $S$ 的任意参数系都是 $M$-正则序列, 即 $M$ 为 Cohen–Macaulay.

证明. 对 $\dim S$ 归纳. 设命题对 $n$ 维的 $S$ 成立, 来证 $n+1$ 维的. 设参数系 $z_0,\dots ,z_n$ 是 $M$-正则序列, 要证任一参数系 $x_0,\dots ,x_n$ 是 $M$-正则序列. 用素理想回避, 取 $y\in S$ 不在 $(z_1,\dots ,z_n)$ 与 $(x_1,\dots ,x_n)$ 的任一极小素理想中, 即 $z_1,\dots ,z_n,y$ 与 $x_1,\dots ,x_n,y$ 都是参数系. 由于 $(y)$ 和 $(z_0)$ 在 $S/(z_1,\dots ,z_n)$ 中的根理想相同, 都是其极大理想, 故可取正整数 $N$ 和 $s\in S$, 使得$$z_0^N\equiv sy(\mathrm{mod}(z_1,\dots ,z_n)).$$由调换条件, $z_1,\dots ,z_n,z_0$ 是 $M$-正则序列, 故 $z_1,\dots ,z_n,z_0^N$ 也是, 从而 $z_1,\dots ,z_n,y$ 也是, 再用调换条件知 $y,z_1,\dots ,z_n$ 也是. 现在 $z_1,\dots ,z_n$ 是 $S/y$-模 $M/yM$ 的正则序列, 由归纳假设, $x_1,\dots ,x_n$ 也是, 便得到 $y,x_1,\dots ,x_n$ 也是 $M$-正则序列. 再把 $y$ 和 $z_0$ 换成 $x_0$ 和 $y$, 将以上推导如法炮制, 即得 $x_0,\dots ,x_n$ 也是 $M$-正则序列.

$\square$

回忆 $R=S/P$. 设 $P=(a_1,\dots ,a_k)$. 用映射 $S\to S_{\mathcal{U}}$ 将 $a_1,\dots ,a_k$ 视为 $S_{\mathcal{U}}$ 中元素, 并写出其在超积中的坐标 $a_j=(a_{i,j}{)}_{i\in I}$, $j=1,\dots ,k$. 记 $R_i=S_i/(a_{i,1},\dots ,a_{i,k})$, $R_{\mathcal{U}}={\prod }_{\mathcal{U}}{R}_i$, 则由超积的定义不难看出 $R_{\mathcal{U}}=S_{\mathcal{U}}/(a_1,\dots ,a_k)=S_{\mathcal{U}}/P{S}_{\mathcal{U}}$, 故有自然的忠实平坦 $\mathbb{Z}[z_0,\dots ,z_n]$-同态 $R\to R_{\mathcal{U}}$. 对 $i\in I$, 以 ${\mathfrak{m}}_i,{\mathfrak{n}}_i$ 分别记 $R_i,S_i$ 的极大理想, 则它们都由 $z_0,\dots ,z_n$ 生成.

引理 12. 任取 $R$ 的参数系 $x_1,\dots ,x_d$, 并写出其在超积 $R_{\mathcal{U}}$ 中的坐标 $x_j=(x_{i,j}{)}_{i\in I}$, $j=1,\dots ,d$. 则对几乎所有 $i\in I$, $x_{i,1},\dots ,x_{i,d}$ 构成 $R_i$ 的参数系.

证明. 设正整数 $N$ 满足 $(x_1,\dots ,x_d)\supseteq {\mathfrak{m}}^N$, 则当然有 $(x_1,\dots ,x_d)R_{\mathcal{U}}\supseteq {\mathfrak{m}}^N{R}_{\mathcal{U}}$. 由于这句话一阶, 故对几乎所有 $i\in I$, $(x_{i,1},\dots ,x_{i,d})\supseteq {\mathfrak{m}}_i^N$. 如果对几乎所有 $i\in I$ 都有 $\dim R_i=d$, 那引理就成立了. 反证法, 设其不然. 重排下标, 可设对几乎所有的 $i\in I$, $\sqrt{(x_{i,2},\dots ,x_{i,d})}={\mathfrak{m}}_i$. 对这样的 $i$, 以 $r_i$ 记最小的正整数使得 $x_{i,1}^{r_i}\in (x_{i,2},\dots ,x_{i,d})$. 用 $R$ Noether, 取正整数 $s$, 使得对所有 $r\ge s$, $$((x_2,\dots ,x_d):x_1^r)=((x_2,\dots ,x_d):x_1^s).$$则由于 $R\to R_{\mathcal{U}}$ 忠实平坦, 上式在 $R_{\mathcal{U}}$ 成立; 而上式一阶, 所以对几乎所有的 $i\in I$, 上式对应地在 $R_i$ 成立. 于是由 $r_i$ 的最小性, $r_i\le s$ 对几乎所有 $i$. 换言之, 对几乎所有 $i$ 都有 $x_{i,1}^s\in (x_{i,2},\dots ,x_{i,d})$, 于是在超积中有 $x_1^s\in (x_2,\dots ,x_d)$, 由忠实平坦性在 $R$ 中也有此事. 这与 $x_1,\dots ,x_d$ 是 $R$ 的参数系矛盾! 故引理成立.

$\square$

万事俱备, 我们来作 $R$ 的大 Cohen–Macaulay 代数 $C$. 由于各 $R_i$ 为特征 $p$, 可取它们的大 Cohen–Macaulay 代数 $C_i$. 取超积 $C={\prod }_{\mathcal{U}}{C}_i$, 则由以上引理, $R$ 的任意参数系在几乎所有的 $i\in I$ 都是参数系, 故在几乎所有的 $C_i$ 都是正则序列; 正则序列是一阶性质, 故其在 $C$ 也是正则序列. 至于弱函子性, 只需把一开始的正向集和超滤子稍作修改, 然后作同样构造即可.

[1]	Melvin Hochster (1978), ‘Cohen–Macaulay Rings and Modules’. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki), (1), 291–298.
[2]	Yves André (2018), ‘La Conjecture du Facteur Direct’. Publications Mathématiques de l’PHES, 127(1), 71–93.
[3]	Yves André (2020), ‘Weak Functoriality of Cohen–Macaulay Algebras’. Journal of the American Mathematical Society, 33(2), 363–380.
[4]	马临全 (2021), A Short Proof of the Direct Summand Theorem via the Flatness Lemma.
[5]	Bhargav Bhatt and Peter Scholze (2019), Prisms and Prismatic Cohomology. arXiv: 1905.08229.
[6]	Ofer Gabber (2018), Observations Made after the MSRP Workshop on Homological Conjectures.
[7]	Bhargav Bhatt (2020). Cohen–Macaulayness of Absolute Integral Closures. arXiv: 2008.08070.
[8]	Matthias Aschenbrenner and Hans Schoutens (2007), ‘Lefschetz Extensions, Tight Closure and Big Cohen–Macaulay Algebras’. Israel Journal of Mathematics, 161(1), 221–310.