局部积闭范畴

在范畴论中, 局部积闭范畴指俯范畴都是积闭范畴的范畴, 这概括了 “在一个语境下积闭” 的思想.

1定义

定义 1.1. 对范畴 $\mathcal{C}$, 如果对它的所有对象 $A$, 俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/A}$ 都有积闭范畴结构, 那么称它是局部积闭范畴.

部分文献中会直接要求局部积闭范畴包含终对象.

2例子

•	意象都是局部积闭的. 另外, 若局部积闭范畴包含子对象分类子, 那么它是初等意象.

•	集合范畴 Set 是局部积闭的, 参见 集合范畴局部积闭.

•	预层范畴 ${\mathcal{C}}^{\text{op}}\to \mathsf{Set}$ 是局部积闭的.

3性质

命题 3.1. 如果一个局部积闭范畴有终对象 $\ast$, 那么它是积闭范畴.

证明. 这种情况下 ${\mathcal{C}}_{/\ast }$ 是积闭的, 而 ${\mathcal{C}}_{/\ast }\simeq \mathcal{C}$.

$\square$

命题 3.2. 若范畴 $\mathcal{C}$ 是局部积闭范畴, 那么对于任意态射 $f\in \mathcal{C}(X,Y)$, 有依值积 ${\prod }_f$ 存在.

伴随三元组

定理 3.3. 若范畴 $\mathcal{C}$ 有所有的拉回且有所有的依值积, 那么它是局部积闭范畴.

换言之, 局部积闭范畴对应了有如下伴随函子图表的范畴 $\mathcal{C}$, 其中 $f\in \mathcal{C}(B,A)$ 是任意态射:

$${\mathcal{C}}_{/A}{\mathcal{C}}_{/B}{f}^{\ast }{\prod }_f\perp {\sum }_f\perp$$

其中:

•	$f^{\ast }$ 是 “顺着 $f$ 拉回” 的函子, 行为如下图所示: $$\bullet \bullet BA输出f^{\ast }(g)┌输入gf$$该函子的存在对应着 “$\mathcal{C}$ 有所有拉回” 的条件.

•	${\sum }_f$ 是依值和函子, 对于 $g\in \mathcal{C}(\bullet ,B)$, 给出 $f\circ g$. 该函子总是存在.

•	${\prod }_f$ 是依值积函子. 该函子给出了 “所有俯范畴都积闭” 这一条件, 也就是说在 ${\mathcal{C}}_{/A}$ 中, 函子 $(-\times Y)$ (也可以写作 $(-{\times }_{A}Y)$, 强调这个操作是在纤维里发生的) 总是有右伴随, 这一条件可以由下图所示的伴随函子复合给出: $${\mathcal{C}}_{/A}\perp {\mathcal{C}}_{/B}\perp {\mathcal{C}}_{/A}{f}^{\ast }-{\times }_{A}Y{\prod }_f{\sum }_f{f}^{\ast }需要的右伴随$$

定理 3.4. 局部积闭范畴满足 Beck–Chevalley 条件, 即对于拉回方块$$BDACvf┌gu$$满足如下自然同构: $$\begin{array}{r}{g}^{\ast }\circ {\sum }_u\cong {\sum }_v\circ f^{\ast }\\ g^{\ast }\circ {\prod }_u\cong {\prod }_v\circ f^{\ast }\end{array}$$

集合范畴局部积闭

可以通过集合范畴中的情况来理解局部积闭范畴:

•	对象 $(X,x:X\to A)\in {\mathcal{C}}_{/A}$ 是 $A$ 为指标的族. $a\in A$ 对应的纤维是 $\{u\in X\mid x(u)=a\}$, 也就是 “$X$ 中, 由 $x$ 映射到 $a$ 的子集”.

•	态射 $f\in (X,x)\to (Y,y)$ 则是以 $A$ 为指标的一组映射.

在这个视角下, 将对象记作 $\{X_a\mid a\in A\}$, 态射记作 $\{X_a\to Y_a\mid a\in A\}$, 那么对于 $f\in \mathcal{C}(B,A)$, 可以这样看待 $\mathcal{C}$ 中的伴随三元组:

$$\begin{array}{rl}{\sum }_f\{Y_b\mid b\in B\}& =\left\{\sum _{b\in B_a}{Y}_b|a\in A\right\}\text{, 集合的族}\\ f^{\ast }\{X_a\mid a\in A\}& =\left\{X_{f(b)}|b\in B\right\}\\ {\prod }_f\{Y_b\mid b\in B\}& =\left\{\prod _{b\in B_a}{Y}_b|a\in A\right\}\text{, 集合的不交并}\end{array}$$

4相关概念

•	依值类型论. 局部积闭范畴是外延类型论的范畴语义.

•	Beck–Chevalley 条件.

术语翻译

积闭范畴 • 英文 locally cartesian closed category (LCCC) • 德文 lokal kartesische abgeschlossene Kategorie • 法文 catégorie localement fermée cartésienne • 拉丁文 categoria localiter clausa cartesiana