可容许规则

在逻辑学中, 可容许的推理规则是指不会产生新的判断的规则. 这里没有要求它真正成立, 因此该逻辑可以有不满足该规则的模型.

可容许规则是这样证明的. 假设我们需要证明如下推理规则可容许:$$\frac{pq}{r}$$我们可以直接对 $p,q$ 的推理进行归纳. 与之相对的, 在证明可导出规则时, 必须要给出规则的证明, 而不能对它的前件进行归纳.

例如, 假设 $p$ 是如下规则推导出来的 (除此之外还要考虑其它的推理规则, 此处只展示与规则的情况):$$\frac{\Gamma ⊢A\Gamma ⊢B}{\Gamma ⊢A\wedge B}$$那么原推理规则会变成这样:$$\frac{\frac{\Gamma ⊢A\Gamma ⊢B}{\Gamma ⊢A\wedge B}q}{r}$$若我们能使用其它规则和归纳假设 (也就是我们想要证明的可容许规则对于更小的变量如 $A,B$ 等也成立这一事实) 证明$$\frac{\Gamma ⊢A\Gamma ⊢Bq}{r}$$那么就完成了这种情况的证明. 若对其它所有逻辑连接词都成立, 那么这个规则是可容许的.

1性质

容易看出某逻辑存在不满足可容许规则的模型 (或扩张). 例如在某弱化规则可容许的逻辑 $T_1$ 中, 它可以存在一拥有更多逻辑连接词的扩张 $T_2$, 且新增的逻辑连接词上弱化规则不可容许. 这种情况下 $T_2$ 的模型都是 $T_1$ 的模型 (因为 $T_2$ 是 $T_1$ 的扩张), 但 $T_2$ 的所有模型都不支持弱化规则.

换言之, 越弱小的逻辑中可容许的规则一般会更多, 因而关于证明能研究的性质也会更强. 这也是为什么在编程语言的领域中, 研究领域特定语言有很大价值的重要原因之一.

2例子

•	在亚结构逻辑中, 极性为正的恒真命题上的结构性规则都是可容许的. 这可以推广到任意等价于这些命题的命题.

重要的可容许规则

参见: 逻辑和谐

•	切规则
•	恒同规则

这两者之一如果不可容许的话, 那么这个逻辑非常可能有重大问题.

3相关概念

•	可导出规则是指可以直接推出的规则.

术语翻译

可容许规则 • 英文 admissible rule