指标约定

指标约定线性代数微分几何中一种记号约定. 大致来说, 它通过张量的分量的指标的位置来反映张量所在的空间, 它和 Einstein 求和约定一起可以用于理清概念并简化计算.

1线性代数中

对有限维向量空间 和它的一组基 , 我们约定

空间 中元素 的分量写为上指标: .

对偶空间 中元素 的分量写为下指标: .

对一般的张量 , 它在每个 中的分量写为下指标, 在每个 中的分量写为上指标.

在给定 上的对称、非退化二次型 后, 我们可以赋予指标的位置和向量所在空间不合时相应指标的含义: 先使用 诱导的同构 转化为与指标相容的向量, 再取相应分量.

具体地说, 记 的分量形式是 (在基域特征非 时, 它在 中), 记它作为矩阵的逆是 , 约定:

中元素 , 表示 ; 对 中元素 , 表示 ; 对一般的张量的约定类似.

2微分几何中

光滑流形 和它一点附近的坐标卡诱导了它一点附近的向量场 , 我们约定

向量场, 即切丛 的截面 的分量写为上指标: .

-形式, 即余切丛 的截面 的分量写为下指标: .

对一般的张量场, 即 , 的截面, 它在每个 中的分量写为下指标, 在每个 中的分量写为上指标.

在给定 上的度量张量, 即对称、非退化 -张量 后, 我们可以同样利用 诱导的切丛与余切丛的同构互换对不合的指标赋予含义. 具体地说, 记 的分量形式是 , 记它作为矩阵的逆是 . 则约定:

对向量场 , 表示 ; 对 -形式 , 表示 ; 对一般的张量场的约定类似.

3例子

如上所述, 向量空间中向量的分量的指标写在上面, 线性函数和二次型的分量的指标写在下面.

如上所述, 向量场的分量的指标写在上面, 微分形式和度量张量的分量的指标写在下面.

的对偶基为 , 则恒等映射 的分量形式为 . 这说明把 的指标这么写确实有其道理.

. 因此最好把 函数的指标上下各写一个.

矩阵如视为线性变换的分量形式, 则它元素的指标最好上下各写一个; 如视为双线性型的分量形式, 则两个指标都最好在下面. 不过此规定一般不会严格遵守.

有时在微分几何中还会把指标写在不正确的地方以简化记号, 虽然这样会导致歧义. 例如:

-张量场 , 它的协变导数 -张量场, 其分量 记作 . 后者并不等于函数 的导数.

4相关概念

张量

Einstein 求和约定

术语翻译

指标约定英文 index convention法文 convention d’indice