Pell 方程

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在初等数论中, Pell 方程是指形如$$x^2-d{y}^2=1$$的不定方程, 其中 $d$ 是固定的正整数, 而我们想要找出方程的所有整数解 $(x,y)$.

1定义

定义 1.1 (Pell 方程). 设 $d$ 是正整数且 $d$ 不是完全平方数, 形如 $x^2-d{y}^2=1$ 的不定方程称为 Pell 方程. 此外, 形如 $x^2-d{y}^2=-1$ 的不定方程有时也被称为 Pell 方程, 不过常将其称为负 Pell 方程以作区分.

2例子

•	对于 $d=3$ 的 Pell 方程 $x^2-3y^2=1$, 它的最小正整数解为 $(x=2,y=1)$, 因为 $2^2-3\times 1^2=4-3=1$. 该方程还有其他无穷多组正整数解, 可以通过一定的数论方法得到.
•	考虑负 Pell 方程 $x^2-5y^2=-1$, 它的最小正整数解为 $(x=2,y=1)$, 因为 $2^2-5\times 1^2=4-5=-1$.

3性质

基本性质

•	Pell 方程 $x^2-d{y}^2=1$ 一定有无穷多组整数解. 可以通过连分数理论来证明和求解这些解. 设 $\sqrt{d}$ 的连分数展开为 $[a_0;\overline{a_1,a_2,\cdots ,a_n}]$, 其渐近分数 $p_n/q_n$ 与 Pell 方程的解密切相关, 通过分析渐近分数可得到方程的解.

•	若 $(x_1,y_1)$ 是 Pell 方程 $x^2-d{y}^2=1$ 的最小正整数解 (也称为基本解) , 那么它的所有正整数解 $(x_n,y_n)$ 可以由递推公式 $x_{n+1}=x_1{x}_n+d{y}_1{y}_n$, $y_{n+1}=y_1{x}_n+x_1{y}_n$ 给出, $n=1,2,\cdots$.

4相关概念

术语翻译

Pell 方程 • 英文 Pell’s equation