Ω 常数

常数 $\Omega \in \mathbb{R}$(称为 $\Omega$ 常数) 是 Lambert W 函数 $W(x)$ 在取 $1$ 时候的值. 其近似值为:$$\Omega =0.5671432904097838729999686622\dots$$

1定义

定义 1.1. $\Omega$ 是方程 $x\exp x=1$ 的实数解, 也即 $W(1)$.

2性质

无理性

命题 2.1. $\Omega$ 是无理数

证明. 假设 $\Omega$ 是有理数, 则 $\Omega =\frac{p}{q}(p,q\in \mathbb{Z},(p,q)=1)$ 由定义得 $1=\frac{p\exp \frac{p}{q}}{q}$, 得到 $e=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$ , 这与 $e$ 是超越数相悖, 于是 $\Omega$ 是无理数.

$\square$

超越性

命题 2.2. $\Omega$ 是超越数

证明. 假设 $\Omega$ 是代数数, 由 Lindemann–Weierstraß 定理得出 $\exp \Omega$ 是超越数, 但 $\exp \Omega =\frac{1}{\Omega }$ , 这与假设是相悖的, 于是 $\Omega$ 是超越数.

$\square$

命题 2.3. $$\exp (-\Omega )=\Omega$$

命题 2.4. $$\frac{1}{1+\Omega }={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{(\exp x-x{)}^2+{\pi }^2}$$

命题 2.5. $$\pi \Omega =\mathrm{R}\mathrm{e}\left({\int }_0^{\pi }\log \left(\frac{\exp (\exp ix)-\exp (-ix)}{\exp (\exp ix)-\exp (ix)}\mathrm{d}x\right)\right)$$

命题 2.6. $$\pi \Omega ={\int }_0^{\pi }\log \left(1+\frac{\sin x}{x}\exp (x\cos x)\right)\mathrm{d}x$$