Lambert W 函数

Lambert $W$ 函数 (亦称乘积对数函数) 是定义在 $\mathbb{C}$ 上的多值函数, 定义为 $f(x)=x\exp x$ 的反函数.

1定义

通过反函数

定义 1.1 (Lambert $W$ 函数). Lambert $W$ 函数 $W(x)$ 是一个多值函数, 定义为 $f(x)=x\exp x$ 的反函数, 即对任何 $x\in \mathbb{C}$, 有 $x=W(x)\exp W(x)$.

通过微分方程

定义 1.2 (Lambert $W$ 函数). 微分方程 $(z\ne -\frac{1}{e})$ : $$z(1+W(z))W^{\prime }(z)=W(z)$$的解即为 Lambert $W$ 函数.

定义 1.3 ($W(x)$ 的分支). $W(x)$ 对于每个 $k\in \mathbb{Z}$ 都有一个分支, 我们记其为 $W_k(x)$ . 特别地, 我们记 $W_0(x)$ 为主支.

例 1.4 ($W(x)$ 的分支). 对于 $x,y\in \mathbb{R}$ 的方程: $$y\exp y=x$$仅当 $x\ge -\frac{1}{e}$, 有根.

当 $x\ge 0$ 时, 可以解得 $y=W_0(x)$.

而当 $-\frac{1}{e}\le x<0$ 时, 可以解得 $y_1=W_0(x)$ 和 $y_2=W_{-1}(x)$.

2性质

恒等式

命题 2.1. 对于 $x\ge -\frac{1}{e}$: $$\frac{x}{W(x)}=\exp W(x)$$

命题 2.2. 对于 $n,x>0$ $$W\left(\frac{n{x}^n}{W(x{)}^{n-1}}\right)=nW(x)$$

命题 2.3. 对于 $x,y>0$ $$W(x)+W(y)=W\left(xy\left(\frac{1}{W(x)}+\frac{1}{W(y)}\right)\right)$$

命题 2.4. $$W\left(-\frac{\log (x+1)}{x(x+1{)}^{\frac{1}{x}}}\right)=-\frac{x+1}{x}\log (x+1)(0>x>-1)$$

命题 2.5. $$W(k\log k)=\log k(k>0)$$

命题 2.6. 通过 Lagrange 反演, 可以得到在 $x=0$ 的级数形式的 $W_0(x)$: $$W(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n$$

命题 2.7. 若 $|W(x)|<1$ $$W(x)=\frac{x}{\exp \frac{x}{\exp \frac{x}{\dots }}}$$

命题 2.8. 若$$z^{z^{z^{\dots }}}=\underset{n\to \infty }{\lim }z\uparrow \uparrow n=a$$则 $a=\frac{W(-\log x)}{-\log x}$ (其中 $\uparrow \uparrow$ 是 Knuth 箭号表示法)

导数

命题 2.9. 对于 $x\ne -\frac{1}{e},0$: $$\begin{array}{rl}W(x{)}^{\prime }& =\frac{1}{(W(x)\exp W(x){)}^{\prime }}\\ & =\frac{1}{\exp W(x)+W(x)\exp W(x)}\\ & =\frac{W(x)}{x(1+W(x))}\end{array}$$

不定积分

命题 2.10. $$\int W(x)\text{d}x=xW(x)-x+\exp W(x)+C$$

证明. $f(x)=x\exp x,F(x)=(x-1)\exp x+C$ $$\begin{array}{rl}\int W(x)\text{d}x& =\int f^{-1}(x)\text{d}x\\ & =x{f}^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C\\ & =xW(x)-x+\exp W(x)+C\end{array}$$

$\square$

3特殊值

命题 3.1. $$W(1)=:\Omega$$称其为 Omega 常数

4应用

命题 4.1. 对于方程 ( $x\in \mathbb{R}$ ): $$x=a+b\exp cx$$其解法如下: $$\begin{array}{rl}& (x-a)=b\exp cx\\ \iff & (x-a)\exp -cx=b\\ \iff & (-cx+ac)\exp -cx=-bc\\ \iff & (-cx+ac)\exp -cx+ac=-bc\exp ac\end{array}$$故 $-cx+ac=W(-bc\exp ac)$, 也即 $x=a-\frac{W(-bc\exp ac)}{c}$

命题 4.2. 对于函数方程 ($n,a\in \mathbb{R},a>0$): $$x=(f(x){)}^n\cdot a^{f(x)}$$其解法如下: $$\begin{array}{rl}& x=(f(x){)}^n\cdot a^{f(x)}\\ \iff & \sqrt[n]{x}=f(x)\cdot e^{\frac{\log a}{n}f(x)}\\ \iff & \frac{\log a}{n}\sqrt[n]{x}=\frac{\log a}{n}f(x)\cdot e^{\frac{\log a}{n}f(x)}\end{array}$$故 $\frac{\log a}{n}f(x)=W(\frac{\log a}{n}\sqrt[n]{x})$, 即 $f(x)=\frac{n}{\log a}W(\frac{\log a}{n}\sqrt[n]{x})$