Monsky 定理

Monsky 定理是个组合几何定理, 说的是一个 $n$ 维立方体如被剖分成体积相等的单形, 则单形的个数被 $n!$ 整除. 它的陈述十分初等, 证明却不可思议地用到了 $p$ 进数, 且直至 20 世纪 70 年代才被发现. 其二维情形由 Paul Monsky 于 1970 年证明, 一般情形则由 David Mead 于 1979 年证明.

1定理与证明

定理 1.1. 如一个 $n$ 维立方体被剖分成体积相等的单形, 则单形的个数被 $n!$ 整除.

证明. 可不妨设该立方体是 $[0,1{]}^n$. 固定一个等体积剖分, 设单形的个数为 $N$, 则每个单形的体积就是 $\frac{1}{N}$. 任取一素数 $p$, 我们来证明 $v_p(n!)\le v_p(N)$. 取定域嵌入 $\mathbb{R}\hookrightarrow \overline{{\mathbb{Q}}_p}$, 其中 $\overline{{\mathbb{Q}}_p}$ 表示 $p$ 进数域的代数闭包, 并将 $\mathbb{R}$ 视为 $\overline{{\mathbb{Q}}_p}$ 的子域. 这样每个实数也都有取值在 $\mathbb{Q}$ 的 $p$ 进赋值, 满足强三角不等式, 且其在有理数上与有理数的 $p$ 进赋值一样.

设剖分的顶点集为 $V$. 给 $V$ 染上 $n+1$ 种颜色, 名为 $0,1,\dots ,n$, 规则如下: 对于点 $(x_1,\dots ,x_n)\in V$, 记 $x_0=1$, 然后令该点的颜色为最大的 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$, 使得 $x_i$ 的 $p$ 进赋值在 $x_0,x_1,\dots ,x_n$ 中为最小. 换言之, 颜色为 $i$ 的点的集合是$$\{(x_1,\dots ,x_n)\in V\mid \forall j\in \{0,\dots ,i-1\},v_p(x_j)\ge v_p(x_i);\forall j\in \{i+1,\dots ,n\},v_p(x_j)>v_p(x_i)\},$$其中 $x_0=1$. 这样, 对于立方体的顶点, 其颜色就是其最后一个非零坐标的序号, 而原点的颜色是 $0$.

记 $e_i$ 为第 $i$ 个坐标是 $1$, 其余坐标是 $0$ 的点, 记 $e_0$ 为原点. 将立方体看成一个组合单形, 其顶点为 $e_0,e_1,\dots ,e_n$, 子集 $S\subseteq \{0,\dots ,n\}$ 对应的面为$$\{\begin{array}{ll}\{(x_1,\dots ,x_n)\in [0,1{]}^n\mid \forall i\notin S,x_i=0\},& 0\in S;\\ \{(x_1,\dots ,x_n)\in [0,1{]}^n\mid \max \{x_1,\dots ,x_n\}=1;\forall i\notin S,x_i=0\},& 0\notin S;\end{array}$$则从定义容易看出, 子集 $S$ 对应的面上只有颜色在 $S$ 里的点. 于是由 Sperner 引理, 立方体的剖分中存在一个单形, 其 $n+1$ 个顶点 $v_0,\dots ,v_n$ 的颜色各不相同. 不妨设 $v_i$ 的颜色为 $i$, 记其坐标为 $(x_{ij}{)}_{j=1}^n$. 计算该单形的体积, 有$$\frac{1}{n!}\left|\begin{array}{cccc}{x}_{00}& x_{01}& \cdots & x_{0n}\\ x_{10}& x_{11}& \cdots & x_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n0}& x_{n1}& \cdots & x_{nn}\end{array}\right|=\pm \frac{1}{N},$$其中 $x_{i0}=1$. 由于 $v_i$ 为第 $i$ 色, 对 $j<i$ 有 $v_p(x_{ij})\ge v_p(x_{ii})$, 对 $j>i$ 有 $v_p(x_{ij})>v_p(x_{ii})$, 且取 $j=0$ 知 $v_p(x_{ii})\le 0$. 于是在行列式的展开式中, 主对角线项的 $p$ 进赋值严格小于其它任一项, 故行列式的赋值等于主对角线项的赋值, 为小于等于 $0$. 所以 $v_p(n!)\le v_p(N)$. 这对每个素数 $p$ 成立, 故 $n!\mid N$.

$\square$

2相关概念

•	等剖分问题
•	Sperner 引理
•	$p$ 进数

术语翻译

Monsky 定理 • 英文 Monsky’s theorem