18. Binet–Cauchy 公式 (青春版)

, 都是  级阵. 那么, 当然也是  级阵. , , 都是  级阵, 故, 它们都有行列式.

本节, 我们学习三者的行列式的关系.

定理 18.1 (Binet–Cauchy 公式, 青春版)., 都是  级阵. 则

我用一个例助您理解, 此定理在说什么.

例 18.2.不难算出可以看到, .

不过, . 一方面, 我们可直接验证: 另一方面, Binet–Cauchy 公式 (青春版) 指出, 毕竟, 数的乘法是可换的.

证. 考虑定义在全体  级阵上的函数 , 其中  级阵.

(1) 是多线性的. 对任何不超过 的正整数 , 任何   , , , , , , 任何二个  , , 任何二个数 , , 有我们用到了阵的运算律与行列式的多线性.

(2) 是交错性的. 因为若 , , , 中有二个相等, 则 , , , 中也有二个相等. 再利用行列式的交错性, .

所以, 对任何  级阵 , . 注意到 , 故证毕.

或许, (方) 阵的行列式与阵的积的定义都是较复杂的 (跟阵的转置、加、减、数乘等对比). 但是, Binet–Cauchy 公式 (的青春版) 给出了一个联系: 二个同级的方阵的积的行列式等于这二个阵的行列式的积.