首先, 我们回想, 我们是可, 按任何一列, 也可按任何一行, 展开一个阵的行列式的:
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 设 j 为整数, 且 1 ⩽ j ⩽ n . 则det ( A ) = i = 1 ∑ n ( − 1 ) i + j [ A ] i , j det ( A ( i ∣ j )) .
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 设 i 为整数, 且 1 ⩽ i ⩽ n . 则det ( A ) = j = 1 ∑ n ( − 1 ) i + j [ A ] i , j det ( A ( i ∣ j )) .
或许, 您还记得约定: 当 A 是 1 级阵时, 形如 A ( 1∣1 ) 的记号表示 “0 级阵”, 且 “0 级阵” 的行列式为 1 . 此约定可使我们简单地写公式.
若我们改变公式的几个文字, 则可得到不一样的结果:
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 设 k , j 都是不超过 n 的正整数, 且 k = j . 则ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + k [ A ] ℓ , j det ( A ( ℓ ∣ k )) = 0. 类似地, 若 i , k 都是不超过 n 的正整数, 且 i = k , 则s = 1 ∑ n ( − 1 ) k + s [ A ] i , s det ( A ( k ∣ s )) = 0.
我用一个例助您理解, 此定理在说什么.
设A = ⎣ ⎡ 1 2 3 5 6 4 9 7 8 ⎦ ⎤ . 不难算出, det ( A ( 1∣1 )) = 6 ⋅ 8 − 4 ⋅ 7 = 20 , det ( A ( 2∣1 )) = 5 ⋅ 8 − 4 ⋅ 9 = 4 , det ( A ( 3∣1 )) = 5 ⋅ 7 − 6 ⋅ 9 = − 19. 那么, 这个定理说, 当 j = 2 或 j = 3 时, + ( − 1 ) 1 + 1 [ A ] 1 , j det ( A ( 1∣1 )) + ( − 1 ) 2 + 1 [ A ] 2 , j det ( A ( 2∣1 )) + ( − 1 ) 3 + 1 [ A ] 3 , j det ( A ( 3∣1 )) = 0 , 即20 [ A ] 1 , j − 4 [ A ] 2 , j − 19 [ A ] 3 , j = 0.
我们直接地验证此事. 取 j = 2 , 有20 ⋅ 5 − 4 ⋅ 6 − 19 ⋅ 4 = 100 − 24 − 76 = 0. 取 j = 3 , 有20 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 − 19 ⋅ 8 = 180 − 28 − 152 = 0.
证. 我证式 1, 您证式 2.
取 n 个数 z 1 , z 2 , … , z n . 我们作 n 级阵 B , 其中[ B ] ℓ , s = { [ A ] ℓ , s , z ℓ , s = k ; s = k . (通俗地, B 的列 s 等于 A 的列 s (s = k ), 而 B 的列 k 的元分别是 z 1 , z 2 , … , z n .) 由此可见, B ( ℓ ∣ k ) = A ( ℓ ∣ k ) (ℓ = 1 , 2 , … , n ). 所以det ( B ) = = ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + k [ B ] ℓ , k det ( B ( ℓ ∣ k )) ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + k z ℓ det ( A ( ℓ ∣ k )) . 注意看. 现在, 特别地, 我们取 z 1 , z 2 , … , z n 为 [ A ] 1 , j , [ A ] 2 , j , … , [ A ] n , j . 此时, B 有相同的二列 (B 的列 j 即为 B 的列 k , 并注意到 k = j ). 所以 det ( B ) = 0 . 故ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + k [ A ] ℓ , j det ( A ( ℓ ∣ k )) = 0. 证毕.
利用 δ -记号, 有 (我留此事的论证为您的习题):
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 若 k , j 都是不超过 n 的正整数, 则ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + k det ( A ( ℓ ∣ k )) [ A ] ℓ , j = det ( A ) δ ( k , j ) . 类似地, 若 i , k 都是不超过 n 的正整数, 则s = 1 ∑ n [ A ] i , s ( − 1 ) k + s det ( A ( k ∣ s )) = det ( A ) δ ( i , k ) .
您可能注意到, 我用数的乘法的结合律与交换律改写了公式. 为什么?
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 定义 A 的古伴 (或者, 古典伴随阵 ) 为 n 级阵 adj ( A ) , 其中, 对任何不超过 n 的正整数 i , j , [ adj ( A ) ] i , j = ( − 1 ) j + i det ( A ( j ∣ i )) (注意等式右侧的 i , j 的次序).
有一件小事值得提. 根据约定, 一个 1 级阵的古伴就是 [ 1 ] , 即 1 级单位阵.
设A = ⎣ ⎡ 1 2 3 5 6 4 9 7 8 ⎦ ⎤ . 我们计算 A 的古伴 adj ( A ) . 根据定义, 我们要计算 9 个 2 级阵的行列式: det ( A ( 1∣1 )) = 6 ⋅ 8 − 4 ⋅ 7 = 20 , det ( A ( 1∣2 )) = 2 ⋅ 8 − 3 ⋅ 7 = − 5 , det ( A ( 1∣3 )) = 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ 6 = − 10 , det ( A ( 2∣1 )) = 5 ⋅ 8 − 4 ⋅ 9 = 4 , det ( A ( 2∣2 )) = 1 ⋅ 8 − 3 ⋅ 9 = − 19 , det ( A ( 2∣3 )) = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 5 = − 11 , det ( A ( 3∣1 )) = 5 ⋅ 7 − 6 ⋅ 9 = − 19 , det ( A ( 3∣2 )) = 1 ⋅ 7 − 2 ⋅ 9 = − 11 , det ( A ( 3∣3 )) = 1 ⋅ 6 − 2 ⋅ 5 = − 4. 所以= = = adj ( A ) ⎣ ⎡ ( − 1 ) 1 + 1 det ( A ( 1∣1 )) ( − 1 ) 1 + 2 det ( A ( 1∣2 )) ( − 1 ) 1 + 3 det ( A ( 1∣3 )) ( − 1 ) 2 + 1 det ( A ( 2∣1 )) ( − 1 ) 2 + 2 det ( A ( 2∣2 )) ( − 1 ) 2 + 3 det ( A ( 2∣3 )) ( − 1 ) 3 + 1 det ( A ( 3∣1 )) ( − 1 ) 3 + 2 det ( A ( 3∣2 )) ( − 1 ) 3 + 3 det ( A ( 3∣3 )) ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ + det ( A ( 1∣1 )) − det ( A ( 1∣2 )) + det ( A ( 1∣3 )) − det ( A ( 2∣1 )) + det ( A ( 2∣2 )) − det ( A ( 2∣3 )) + det ( A ( 3∣1 )) − det ( A ( 3∣2 )) + det ( A ( 3∣3 )) ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 20 5 − 10 − 4 − 19 11 − 19 11 − 4 ⎦ ⎤ .
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 设 adj ( A ) 为其古伴. 则adj ( A ) A = det ( A ) I = A adj ( A ) .
证. 首先, 二个等式的左右二侧都是 n 级阵.
由上个定理 (的前一部分),
[ adj ( A ) A ] i , j = = = = = ℓ = 1 ∑ n [ adj ( A ) ] i , ℓ [ A ] ℓ , j ℓ = 1 ∑ n ( − 1 ) ℓ + i det ( A ( ℓ ∣ i )) [ A ] ℓ , j det ( A ) δ ( i , j ) det ( A ) [ I ] i , j [ det ( A ) I ] i , j . 同理,
[ A adj ( A ) ] i , j = = = = = s = 1 ∑ n [ A ] i , s [ adj ( A ) ] s , j s = 1 ∑ n [ A ] i , s ( − 1 ) j + s det ( A ( j ∣ s )) det ( A ) δ ( i , j ) det ( A ) [ I ] i , j [ det ( A ) I ] i , j . 设A = ⎣ ⎡ 1 2 3 5 6 4 9 7 8 ⎦ ⎤ . 我们知道, A 的行列式是 − 45 . 我们还知道, A 的古伴adj ( A ) = ⎣ ⎡ 20 5 − 10 − 4 − 19 11 − 19 11 − 4 ⎦ ⎤ . 可以验证adj ( A ) A = − 45 I = A adj ( A ) .
设 A 是 n 级阵, 且其行列式 det ( A ) = 0 . 作 n 级阵B = det ( A ) 1 adj ( A ) . 从而B A = = = = = = ( det ( A ) 1 adj ( A ) ) A det ( A ) 1 ( adj ( A ) A ) det ( A ) 1 ( det ( A ) I ) ( det ( A ) 1 det ( A ) ) I 1 I I . 类似地, 可知 A B = I . 所以, 我们有
设 A 是 n 级阵 (n ⩾ 1 ). 若 det ( A ) = 0 , 则存在 n 级阵 B 使B A = I = A B .
反之, 若有 n 级阵 B 使 B A = I = A B , 则, 因为二个同级的方阵的积的行列式等于这二个阵的行列式的积,1 = det ( I ) = det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) . 从而 det ( A ) = 0 .
我们熟知, 任取不等于 0 的数 a , 必有一个数 b 使 ba = 1 = ab ; 反过来, 若 ba = 1 = ab , 则 a = 0 . 这么看来, 行列式非零的阵跟非零的数 “像”; 甚至, 特别地, 行列式非零的 1 级阵就是非零的数.