20. 线性方程组

在接下来的若干节里, 我想用行列式讨论线性方程组的解. 这是行列式的一个应用. 或许, 您可以在这些讨论里体会到, “行列式是一个工具” “行列式是方阵的一个属性” 的意思.

本节, 我们学习一些基本的概念.

设 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ 是 $n$ 个常数, $c$ 是常数, $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 是 $n$ 个未知数. 我们说, 形如 $a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} + c$ 的式是一个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次式. 若 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ 中有一个数不为 $0$ , 我们说, 这个式是一个 $n$ 元 $1$ 次式. 若 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ 全为 $0$ , 那么, 这个式就是一个常数.

形如 $a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} + c = 0$ 的方程是一个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程. 不过, 习惯地, 我们移常数项 $c$ 到等式的右侧; 也就是, 形如 $a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b$ 的方程也是一个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程, 其中 $b$ 就是常数 $- c$ . 若我们不想强调未知数之数 $n$ , 我们说, 这是一个 $⩽ 1$ 次方程; 我们也可说, 这是一个线性方程.

由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组, 是形如 $⎩ ⎨ ⎧ a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} = b_{1}, a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} = b_{2}, \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots, a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} = b_{m}$ 的方程组, 其中 $a_{1, 1}$ , $a_{1, 2}$ , $\dots$ , $a_{1, n}$ , $a_{2, 1}$ , $a_{2, 2}$ , $\dots$ , $a_{2, n}$ , $\dots$ , $a_{m, 1}$ , $a_{m, 2}$ , $\dots$ , $a_{m, n}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $\dots$ , $b_{m}$ 是事先指定的 $mn + m$ 个数, 而 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ 都是未知数. 若我们不想强调方程数 $m$ , 我们可说, 这是一个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程组; 若我们不想强调未知数之数 $n$ , 我们可说, 这是一个由 $m$ 个 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组. 既然 $⩽ 1$ 次方程的另一个名字是线性方程, 我们也可说, 这是一个线性方程组.

若数 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 适合 $a_{1, 1} c_{1} + a_{1, 2} c_{2} + \dots + a_{1, n} c_{n} = b_{1}, a_{2, 1} c_{1} + a_{2, 2} c_{2} + \dots + a_{2, n} c_{n} = b_{2}, \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots, a_{m, 1} c_{1} + a_{m, 2} c_{2} + \dots + a_{m, n} c_{n} = b_{m},$ 我们说, $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 是此方程组的一个解. 有时, 我们也说, 形如 $x_{1} = c_{1}$ , $x_{2} = c_{2}$ , $\dots$ , $x_{n} = c_{n}$ 的 $n$ 个等式 (的联合) 是此方程组的一个解.

若 $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{n} = 0$ , 且 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 是此方程组的一个解, 我们说, 这是此方程组的零解. 若 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 不全为 $0$ , 且 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 是此方程组的一个解, 我们说, 这是此方程组的一个非零解.

例 20.1. 假定有若干只鸡与若干只兔被关在某处. 假定每一只鸡有 $1$ 个头与 $2$ 只腿; 假定每一只兔有 $1$ 个头与 $4$ 只腿. 假定, 我们知道, 这些鸡与兔一共有 $35$ 个头与 $94$ 只腿. 我们能由此算出鸡与兔的数目吗?

我们代数地思考此事. 设有 $x_{1}$ 只鸡, 有 $x_{2}$ 只兔. 那么, 这些鸡与兔一共有 $x_{1} + x_{2}$ 个头, 与 $2 x_{1} + 4 x_{2}$ 只腿. 注意到, 这二个式都是 $2$ 元 $⩽ 1$ 次式. 我们可列出由 $2$ 个 $2$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 ${x_{1} + x_{2} = 35, 2 x_{1} + 4 x_{2} = 94.$ 接下来的问题, 就是解这个方程组. 不过, 此例的目的是使您熟悉概念. 我想之后讲如何解这个方程组.

可以验证, $(23, 12)$ 是此方程组的一个解: 因为 $23 + 12 = 35$ , 且 $2 \cdot 23 + 4 \cdot 12 = 94$ . 因为 $23$ , $12$ 里有一个数不是 $0$ , 故 $(23, 12)$ 是此方程组的一个非零解. 我们也可说, $x_{1} = 23$ , $x_{2} = 12$ 是此方程组的一个 (非零) 解.

不过, $(12, 23)$ 不是此方程组的一个解: 虽然 $12 + 23 = 35$ , 但是 $2 \cdot 12 + 4 \cdot 23 = 116 \neq = 94$ .

例 20.2. 考虑由 $2$ 个 $3$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 ${x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, 4 x_{1} + 5 x_{2} + 6 x_{3} = 0.$ 可以验证, 对每一个数 $k$ , $(k, - 2 k, k)$ 是此方程组的一个解: $k + 2 (- 2 k) + 3 k = k - 4 k + 3 k = 0, 4 k + 5 (- 2 k) + 6 k = 4 k - 10 k + 6 k = 0.$ 当 $k = 0$ 时, 这是零解; 当 $k \neq = 0$ 时, 因为 $k$ , $- 2 k$ , $k$ 里有一个数 $k$ 不是 $0$ , 故这是一个非零解.

我们也可说, $x_{1} = k$ , $x_{2} = - 2 k$ , $x_{3} = k$ 是此方程组的一个解.

利用阵的积, 我们可简单地写一个线性方程组. 设 $A = ⎣ ⎡ a_{1, 1} a_{2, 1} ⋮ a_{m, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} ⋮ a_{m, 2} \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} ⋮ a_{m, n} ⎦ ⎤, X = ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} ⎦ ⎤, B = ⎣ ⎡ b_{1} b_{2} ⋮ b_{m} ⎦ ⎤ .$ 则, 对不超过 $m$ 的正整数 $i$ , $[B]_{i, 1} = = = = b_{i} a_{i, 1} x_{1} + a_{i, 2} x_{2} + \dots + a_{i, n} x_{n} [A]_{i, 1} [X]_{1, 1} + [A]_{i, 2} [X]_{2, 1} + \dots + [A]_{i, n} [X]_{n, 1} [A X]_{i, 1} .$ 注意到 $A X$ 的尺寸也是 $m \times 1$ , 故 $A X = B .$ 所以, 我们也说形如 $A X = B$ 的阵等式 ( $X$ 的元是未知数, $X$ 是恰有 $1$ 列的阵) 是一个线性方程组. 相应地, 若 $n \times 1$ 阵 $C$ (其元跟 $X$ 的元相比, 自然都是已知数) 适合 $A C = B$ , 我们说, $C$ 是此方程组的一个解; 若 $C = 0$ (也就是, $C$ 的每一个元都是 $0$ ) 是此方程组的一个解, 我们说, $C$ 是此方程组的零解; 若不等于 $0$ 的 $C$ (也就是, $C$ 有一个不为 $0$ 的元) 是此方程组的一个解, 我们说, $C$ 是此方程组的一个非零解.

例 20.3. 我们可改写 ${x_{1} + x_{2} = 35, 2 x_{1} + 4 x_{2} = 94.$ 为 $[1214] [x_{1} x_{2}] = [3594] .$ 可以验证, $C = [2312]$ 是此方程组的一个非零解: $C \neq = 0$ , 且 $[1214] [2312] = [1 \cdot 23 + 1 \cdot 12 2 \cdot 23 + 4 \cdot 12] = [3594] .$

不过, $D = [1223]$ 不是此方程组的一个解: $[1214] [1223] = [1 \cdot 12 + 1 \cdot 23 2 \cdot 12 + 4 \cdot 23] = [35116] \neq = [3594] .$

例 20.4. 我们可改写 ${x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 0, 4 x_{1} + 5 x_{2} + 6 x_{3} = 0.$ 为 $[142536] ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} x_{3} ⎦ ⎤ = [00] .$ 可以验证, 对每一个数 $k$ , $C = k ⎣ ⎡ 1 - 2 1 ⎦ ⎤$ 是此方程组的一个解: $[142536] ⎝ ⎛ k ⎣ ⎡ 1 - 2 1 ⎦ ⎤ ⎠ ⎞ = = = k ⎝ ⎛ [142536] ⎣ ⎡ 1 - 2 1 ⎦ ⎤ ⎠ ⎞ k [1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2) + 3 \cdot 1 4 \cdot 1 + 5 \cdot (- 2) + 6 \cdot 1] k [00] = [00] .$ 当 $k = 0$ 时, 它是零解; 当 $k \neq = 0$ 时, 它是一个非零解.

最后, 有一件小事值得提. 前面, 我们写一个由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组为阵等式. 反过来, 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵, $B$ 是 $m \times 1$ 阵, $X$ 是未知的 $n \times 1$ 阵. 那么, 我们也可还原形如 $A X = B$ 的阵等式为由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组. 比如, 我们可写 $⎣ ⎡ 204 31 - 6 - 5 118 713 - 9 0 - 17 12 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 789 ⎦ ⎤$ 为 $⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} + 3 x_{2} - 5 x_{3} + 7 x_{4} = 7, x_{2} + 11 x_{3} + 13 x_{4} - 17 x_{5} = 8, 4 x_{1} - 6 x_{2} + 8 x_{3} - 9 x_{4} + 12 x_{5} = 9.$ (注意到, 我们未写系数为 $0$ 的项.)

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