本节, 我们学习阵的一个新运算, 即阵的乘法.
阵的乘法, 跟阵的加、减、数乘相比, 复杂一些. 不过, 我想说, 阵的加、减、数乘, 与本节要讨论的乘运算, 都不是数学家随意定义的.
我认为, “长大了, 就明白了”, 不是没有道理的. 初学数的减法时, 我不明白, 为什么 “取 1 当 10”, 从而不理解 16−9=7. 初学分数的加法时, 我不明白, 为什么 1/2+1/3=5/6, 而不是 1/2+1/3=2/5. 初学解方程时, 我不明白, 为什么 a−(b−c)=a−b+c; 我当时认为, a−(b−c) 应等于 a−b−c (也就是, (a−b)−c). 不过, 现在我当然都明白了. 还有别的这样的故事, 但我就不在这儿说它们了.
我想, 您也有类似的体验.
好了, 我就说这么多. 我要开始引入阵的积了.
设 A 是 m×s 阵, B 是 s×n 阵 (也就是, A 有多少列, B 就有多少行). 我们定义 A 与 B 的积 (注意 A, B 的次序) 为一个 m×n 阵 AB, 其中, 对任何不超过 m 的正整数 i 与任何不超过 n 的正整数 j, [AB]i,j==[A]i,1[B]1,j+[A]i,2[B]2,j+⋯+[A]i,s[B]s,jk=1∑s[A]i,k[B]k,j.(通俗地, AB 是 m×n 阵, 其 (i,j)-元就是 A 的行 i 跟 B 的列 j 的相应位置的元的积的和.)
可以看到, 阵的乘法跟阵的加法比, 有大的区别. 首先, 加法要求二个阵的尺寸相同, 而乘法要求第 1 个阵的列数等于第 2 个阵的行数. 其次, 阵的加法的定义用到的只不过是数的加法, 而阵的乘法的定义要同时用到数的加法与乘法.
阵的乘法, 不像数的乘法, 有可能是不可换的. 具体地, 设 A, B 分别是 m×s 与 s×n 阵. 根据定义, AB 是有意义的. 但是, BA 无意义, 除非 n=m. 这还只是一方面. 另一方面, 就算 n=m, AB 跟 BA 的尺寸也不一样, 除非 m=s=n. 最后, 就算 m=s=n, AB 也可以不等于 BA.
设A=[2357],B=[9468].根据定义, AB=[2⋅9+5⋅43⋅9+7⋅42⋅6+5⋅83⋅6+7⋅8]=[38555274],BA=[9⋅2+6⋅34⋅2+8⋅39⋅5+6⋅74⋅5+8⋅7]=[36328776].所以, 即使 AB, BA 都是 2 级阵, 它们也不相等.
我们知道, 若 a, b 是二个非零的数, 那么 ab=0. 但是, 对二个阵 A, B, 即使 A=0, B=0, 仍有可能 AB=0 (此处的 0 是零阵, 即元全为 0 的阵).
设A=[0100],B=[0001].根据定义, AB=[0⋅0+0⋅01⋅0+0⋅00⋅0+0⋅11⋅0+0⋅1]=[0000].
阵的乘法跟数的乘法虽有不同的地方, 但, 更重要地, 也有相同的 (或类似的) 地方.
设 A, B, C 分别是 m×s, s×n, n×p 阵. 设 D 是 m×s 阵, 设 G 是 s×n 阵. 设 x 是数. 则:
(1) (结合律) (AB)C=A(BC);
(2) (分配律 1) (A+D)B=AB+DB;
(3) (分配律 2) A(B+G)=AB+AG;
(4) (单位阵的作用) ImA=A=AIs, 其中 Im, Is 分别是 m, s 级单位阵;
(5) (阵的数乘与乘法) (xA)B=x(AB)=A(xB).
证. (1) 注意到 AB 是 m×n 阵, 故 (AB)C 是 m×p 阵; 注意到 BC 是 s×p 阵, 故 A(BC) 也是 m×p 阵. 根据阵的积的定义, [(AB)C]i,j=======ℓ=1∑n[AB]i,ℓ[C]ℓ,jℓ=1∑n(k=1∑s[A]i,k[B]k,ℓ)[C]ℓ,jℓ=1∑nk=1∑s[A]i,k[B]k,ℓ[C]ℓ,jk=1∑sℓ=1∑n[A]i,k[B]k,ℓ[C]ℓ,jk=1∑s[A]i,k(ℓ=1∑n[B]k,ℓ[C]ℓ,j)k=1∑s[A]i,k[BC]k,j[A(BC)]i,j.
(2) 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是 m×n (我留此为您的习题). 根据阵的和与积的定义, [(A+D)B]i,j======k=1∑s[A+D]i,k[B]k,jk=1∑s([A]i,k+[D]i,k)[B]k,jk=1∑s([A]i,k[B]k,j+[D]i,k[B]k,j)k=1∑s[A]i,k[B]k,j+k=1∑s[D]i,k[B]k,j[AB]i,j+[DB]i,j[AB+DB]i,j.
(3) 这跟分配律 1 的论证完全类似; 我留此为您的习题.
(4) 先证 ImA=A. 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是 m×s (我留此为您的习题). 回想, 单位阵 I 的 (i,j)-元是 δ(i,j); 具体地, i=j 时, 它是 1, 而 i=j 时, 它是 0. 根据阵的积的定义, [ImA]i,j=====u=1∑m[Im]i,u[A]u,ju=1∑mδ(i,u)[A]u,jδ(i,i)[A]i,j+1⩽u⩽mu=i∑δ(i,u)[A]u,j1[A]i,j+1⩽u⩽mu=i∑0[A]u,j[A]i,j.请允许我留另一部分为您的习题.
(5) 先证
(xA)B=x(AB). 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是
m×n (我留此为您的习题). 根据阵的数乘与阵的积的定义,
[(xA)B]i,j=====k=1∑s[xA]i,k[B]k,jk=1∑sx[A]i,k[B]k,jxk=1∑s[A]i,k[B]k,jx[AB]i,j[x(AB)]i,j.请允许我留另一部分为您的习题.
以后, 我们可简单地写 (AB)C 或 A(BC) 为 ABC, 也可简单地写 x(AB), (xA)B, A(xB) 为 xAB (当然, x 是一个数).
我以二个重要的事实结束本节.
设 B 是 s×m 阵. 设 A 是 m×n 阵. 设 A 的列 1, 2, …, n 分别是 a1, a2, …, an (于是, 我们可写 A=[a1,a2,…,an]). 则BA=[Ba1,Ba2,…,Ban].
证. 记
C=[Ba1,Ba2,…,Ban]. 每一个
Baj 都是
s×1 阵, 故
C 是
s×n 阵. 当然,
BA 也是
s×n 阵. 根据阵的积的定义,
[C]i,j====[Baj]i,1k=1∑m[B]i,k[aj]k,1k=1∑m[B]i,k[A]k,j[BA]i,j. 设 A 是 m×n 阵. 设 A 的列 1, 2, …, n 分别是 a1, a2, …, an (于是, 我们可写 A=[a1,a2,…,an]). 设 X 是一个 n×1 阵. 则AX=[X]1,1a1+[X]2,1a2+⋯+[X]n,1an.
证. AX 自然是一个
m×1 阵. 不难看出, 待证等式的右侧也是
m×1 阵. 根据阵的积、和、数乘的定义,
[AX]i,1====k=1∑n[A]i,k[X]k,1k=1∑n[ak]i,1[X]k,1k=1∑n[[X]k,1ak]i,1[k=1∑n[X]k,1ak]i,1.