16. “行” 列式 (续)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

这里, 为方便, 我译前面的行列式的关于列的公式为关于行的公式.

我先引用我们见过的二个公式.

定理 16.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$

定理 16.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $i$ 为整数, 且 $1⩽i⩽n$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

现在, 我给出新的公式. 您至少有二个证明这些新公式的方法: (a) 您可以用老方法, 几乎完全一样地论证; (b) 您也可以利用转置, 译已有的公式.

定理 16.3. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $k$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_k$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $i_1<i_2<\cdots <i_k$. 则$$\begin{array}{rl}& \det (A)=\sum _{1⩽j_1<j_2<\cdots <j_k⩽n}\det \left(A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_k}{j_1,j_2,\dots ,j_k}\right)\right)\\ & \cdot (-1{)}^{i_1+i_2+\cdots +i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}\det (A(i_1,i_2,\dots ,i_k|j_1,j_2,\dots ,j_k)).\end{array}$$

定理 16.4. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽j_1,j_2,\dots ,j_n⩽n\\ j_1,j_2,\dots ,j_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)s(j_1,j_2,\dots ,j_n)[A{]}_{i_1,j_1}[A{]}_{i_2,j_2}\dots [A{]}_{i_n,j_n}.\end{array}$$

特别地, 取 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 为 $1$, $2$, $\dots$, $n$, 有,$$\begin{array}{rl}\det (A)=& \sum _{\begin{array}{c}1⩽j_1,j_2,\dots ,j_n⩽n\\ j_1,j_2,\dots ,j_n\text{互不相同}\end{array}}s(j_1,j_2,\dots ,j_n)[A{]}_{1,j_1}[A{]}_{2,j_2}\dots [A{]}_{n,j_n}.\end{array}$$这是多的教材定义行列式的方式. 当我是初学者时, 我面对的就是它.

定理 16.5. 设 $n$ 级阵 $A$ 的行 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别为 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. 设 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, $\dots$, ${\ell }_n$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则$$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{c}{a}_{{\ell }_1}\\ a_{{\ell }_2}\\ ⋮\\ a_{{\ell }_n}\end{array}\right]=s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\det (A).\end{array}$$