30. Binet–Cauchy 公式

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

或许, (方) 阵的行列式与阵的积的定义是较复杂的, 跟阵的转置、加、减、数乘等比. 不过, 它们有不平凡的关系.

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 阵, $B$ 是一个 $n \times m$ 阵. 根据阵的积的定义, $B A$ 是一个 $n$ 级阵, 故它有行列式.

定理 30.1 (Binet–Cauchy 公式). 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times n$ , $n \times m$ 阵.

(1) 若 $n > m$ , 则 $det (B A) = 0$ .

(2) 若 $n ⩽ m$ , 则 $= det (B A) 1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum det (B (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n})) .$ 特别地, 若 $n = m$ , 则因适合条件 $1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m$ 的 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ , 是, 且只能是, $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , 故 $det (B A) = = det (B (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (B) det (A) .$

我用二个例助您理解, 此定理在说什么.

例 30.2. 设 $A = [123456], B = ⎣ ⎡ 789101112 ⎦ ⎤ .$ 不难算出, $A B = [76100103136], B A = ⎣ ⎡ 27303361687595106117 ⎦ ⎤ .$ 直接计算, 可知 $det (A B) = 76 \cdot 136 - 100 \cdot 103 = 36,$ 而 $det (B A) = = + 27 \cdot 68 \cdot 117 + 30 \cdot 75 \cdot 95 + 33 \cdot 61 \cdot 106 - 27 \cdot 75 \cdot 106 - 30 \cdot 61 \cdot 117 - 33 \cdot 68 \cdot 95 0.$

或许, 前面的计算是较复杂的. 我们试用 Binet–Cauchy 公式, 再计算它们.

因为 $A$ , $B$ 的尺寸分别是 $2 \times 3$ , $3 \times 2$ , 而 $3 > 2$ , 根据 (1), $det (B A) = 0$ (注意到, $B A$ 是 $3$ 级阵).

因为 $2 ⩽ 3$ , 故, 根据 (2), $= det (A B) + det (A (1 , 2 1 , 2)) det (B (1 , 2 1 , 2)) + det (A (1 , 3 1 , 2)) det (B (1 , 2 1 , 3)) + det (A (2 , 3 1 , 2)) det (B (1 , 2 2 , 3)) .$ 这里, 要注意到, 适合条件 “ $1 ⩽ j_{1} < j_{2} ⩽ 3$ ” 的 $(j_{1}, j_{2})$ 恰有三个: $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 3)$ . 不难写出 $A (1 , 2 1 , 2) = [1234], B (1 , 2 1 , 2) = [781011], A (1 , 3 1 , 2) = [1256], B (1 , 2 1 , 3) = [791012], A (2 , 3 1 , 2) = [3456], B (1 , 2 2 , 3) = [891112] .$ 从而 $det (A B) = (- 2) \cdot (- 3) + (- 4) \cdot (- 6) + (- 2) \cdot (- 3) = 36.$

例 30.3. 设 $A = [2357], B = [9468] .$ 不难算出 $A B = [38555274], B A = [36328776] .$ 可以看到, $A B \neq = B A$ .

不过, $det (A B) = det (B A)$ . 一方面, 我们可直接验证: $det (A B) = 38 \cdot 74 - 55 \cdot 52 = - 48, det (B A) = 36 \cdot 76 - 32 \cdot 87 = - 48.$ 另一方面, Binet–Cauchy 公式指出, $det (A B) = = = det (A) det (B) det (B) det (A) det (B A) .$ 毕竟, 数的乘法是可换的.

为简单地论证公式, 我们要三个新事实; 为证明这三个新事实的前二个, 我们要一些老的公式.

定理 30.4. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则 $= det (A) 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum s (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) s (j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}) [A]_{i_{1}, j_{1}} [A]_{i_{2}, j_{2}} \dots [A]_{i_{n}, j_{n}} .$

取 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 为 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , 并注意到 $s (1, 2, \dots, n) = 1$ , 有 $det (A) = 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum s (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) [A]_{i_{1}, 1} [A]_{i_{2}, 2} \dots [A]_{i_{n}, n} .$

定理 30.5. 设 $n$ 级阵 $A$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 分别为 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ . 设 $ℓ_{1}$ , $ℓ_{2}$ , $\dots$ , $ℓ_{n}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则 $det [a_{ℓ_{1}}, a_{ℓ_{2}}, \dots, a_{ℓ_{n}}] = s (ℓ_{1}, ℓ_{2}, \dots, ℓ_{n}) det (A) .$

现在, 我要开始展现三个新事实了.

定理 30.6. 设 $C$ 为 $n \times m$ 阵, 且 $m ⩾ n$ . 设 $C$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ 分别为 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{m}$ . 设 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且互不相同. 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 是 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 的自然排列. 则 $det [c_{k_{1}}, c_{k_{2}}, \dots, c_{k_{n}}] = s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) det [c_{j_{1}}, c_{j_{2}}, \dots, c_{j_{n}}] .$

证. 设 $k_{t}$ 在 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 的自然排列 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 里的位置为 $f (k_{t})$ ( $t = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ ). 注意, $f (j_{t}) = t$ . 并且, 若 $k_{t} < k_{v}$ , 必有 $f (k_{t}) < f (k_{v})$ . 反过来, 若 $f (k_{t}) < f (k_{v})$ , 必有 $k_{t} < k_{v}$ . (我用一个简单的例助您理解. 设 $m = 9$ , $n = 3$ . 设 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ 分别为 $8$ , $9$ , $6$ . 那么, $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ 的自然排列 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $j_{3}$ 是 $6$ , $8$ , $9$ . 故 $f (k_{1}) = f (j_{2}) = f (8) = 2$ , $f (k_{2}) = f (j_{3}) = f (9) = 3$ , $f (k_{3}) = f (j_{1}) = f (6) = 1$ .) 从而 $sgn (k_{v} - k_{t}) = sgn (f (k_{v}) - f (k_{t}))$ .

作阵

G = [c_{j_{1}}, c_{j_{2}}, \dots, c_{j_{n}}]

. 设

G

的列

1

,

2

,

\dots

,

n

分别是

g_{1}

,

g_{2}

,

\dots

,

g_{n}

. 则

[c_{k_{1}}, c_{k_{2}}, \dots, c_{k_{n}}] = [g_{f (k_{1})}, g_{f (k_{2})}, \dots, g_{f (k_{n})}] .

故

det [c_{k_{1}}, c_{k_{2}}, \dots, c_{k_{n}}] = = = det [g_{f (k_{1})}, g_{f (k_{2})}, \dots, g_{f (k_{n})}] s (f (k_{1}), f (k_{2}), \dots, f (k_{n})) det [g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}] s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) det [c_{j_{1}}, c_{j_{2}}, \dots, c_{j_{n}}] .

证毕.

定理 30.7. 设 $D$ 为 $m \times n$ 阵, 且 $m ⩾ n$ . 设 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n}$ . 则 $= det (D (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 的排列 \sum s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) [D]_{k_{1}, 1} [D]_{k_{2}, 2} \dots [D]_{k_{n}, n} .$

证. 设 $H = D (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n}) .$ 不难看出, $[H]_{u, v} = [D]_{i_{u}, v}$ .

记

f (i_{t}) = t

(

t = 1

,

2

,

\dots

,

n

). 设

k_{1}

,

k_{2}

,

\dots

,

k_{n}

是

i_{1}

,

i_{2}

,

\dots

,

i_{n}

的一个排列. 那么,

f (k_{1})

,

f (k_{2})

,

\dots

,

f (k_{n})

是

1

,

2

,

\dots

,

n

的一个排列. 反过来, 若

v_{1}

,

v_{2}

,

\dots

,

v_{n}

是

1

,

2

,

\dots

,

n

的一个排列, 则

i_{v_{1}}

,

i_{v_{2}}

,

\dots

,

i_{v_{n}}

是

i_{1}

,

i_{2}

,

\dots

,

i_{n}

的一个排列. 并且, 若

k_{t} < k_{v}

, 必有

f (k_{t}) < f (k_{v})

. 反过来, 若

f (k_{t}) < f (k_{v})

, 必有

k_{t} < k_{v}

. 从而

sgn (k_{v} - k_{t}) = sgn (f (k_{v}) - f (k_{t}))

. 故

= = = det (D (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) det (H) k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 的排列 \sum s (f (k_{1}), f (k_{2}), \dots, f (k_{n})) [H]_{f (k_{1}), 1} [H]_{f (k_{2}), 2} \dots [H]_{f (k_{n}), n} k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 的排列 \sum s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) [D]_{k_{1}, 1} [D]_{k_{2}, 2} \dots [D]_{k_{n}, n} .

证毕.

定理 30.8. 设 $n ⩽ m$ . 设数 $f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n})$ (其中 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 过 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ ) 适合: 若 $k_{p} = k_{q}$ ( $1 ⩽ p < q ⩽ n$ ), 则 $f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = 0$ . 那么 $= = 1 ⩽ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} ⩽ m \sum f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) 1 ⩽ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} ⩽ m k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 互不相同 \sum f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) 1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n} 的排列 \sum f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) .$

证. 由

f

的性质可知, 前一个等式成立. 后一个等式也不难. 注意到, 要从

m

个不同的数里有前后次序地选

n

个不同的数

k_{1}

,

k_{2}

,

\dots

,

k_{n}

, 我们可以这样: 先从小到大地从这

m

个数里选

n

个不同的数

j_{1}

,

j_{2}

,

\dots

,

j_{n}

, 再有前后次序地作这

n

个数的排列

k_{1}

,

k_{2}

,

\dots

,

k_{n}

. 所以后一个等式也成立.

证毕.

现在, 我们证明 Binet–Cauchy 公式.

证. 设 $B$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ 分别是 $b_{1}$ , $b_{2}$ , $\dots$ , $b_{m}$ . 设 $A$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 分别是 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ . 那么 $B A = = [B a_{1}, B a_{2}, \dots, B a_{n}] [k_{1} = 1 \sum m [A]_{k_{1}, 1} b_{k_{1}}, k_{2} = 1 \sum m [A]_{k_{2}, 2} b_{k_{2}}, \dots, k_{n} = 1 \sum m [A]_{k_{n}, n} b_{k_{n}}] .$ 利用行列式的多线性, 有 $= = = = = det (B A) det [k_{1} = 1 \sum m [A]_{k_{1}, 1} b_{k_{1}}, k_{2} = 1 \sum m [A]_{k_{2}, 2} b_{k_{2}}, \dots, k_{n} = 1 \sum m [A]_{k_{n}, n} b_{k_{n}}] k_{1} = 1 \sum m [A]_{k_{1}, 1} det [b_{k_{1}}, k_{2} = 1 \sum m [A]_{k_{2}, 2} b_{k_{2}}, \dots, k_{n} = 1 \sum m [A]_{k_{n}, n} b_{k_{n}}] k_{1} = 1 \sum m k_{2} = 1 \sum m [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} det [b_{k_{1}}, b_{k_{2}}, \dots, k_{n} = 1 \sum m [A]_{k_{n}, n} b_{k_{n}}] \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots 1 ⩽ k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} ⩽ m \sum [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} \dots [A]_{k_{n}, n} det [b_{k_{1}}, b_{k_{2}}, \dots, b_{k_{n}}] .$

记 $f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} \dots [A]_{k_{n}, n} det [b_{k_{1}}, b_{k_{2}}, \dots, b_{k_{n}}] .$ 根据行列式的交错性, 当 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 中有二个数相同时, $f (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = 0$ .

(1) 若 $n > m$ , 则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 中总有二个相同 (抽屉原理). 所以, 每一项都是 $0$ . 故 $det (B A) = 0$ .

(2) 若

n ⩽ m

, 那么

det (B A)

等于

1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n} 的排列 \sum [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} \dots [A]_{k_{n}, n} det [b_{k_{1}}, b_{k_{2}}, \dots, b_{k_{n}}] .

因为

1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m

, 且

k_{1}

,

k_{2}

,

\dots

,

k_{n}

是

j_{1}

,

j_{2}

,

\dots

,

j_{n}

的排列, 故

det [b_{k_{1}}, b_{k_{2}}, \dots, b_{k_{n}}] = s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) det [b_{j_{1}}, b_{j_{2}}, \dots, b_{j_{n}}],

从而

det (B A)

等于

1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum det [b_{j_{1}}, b_{j_{2}}, \dots, b_{j_{n}}] \cdot k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n} 的排列 \sum s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} \dots [A]_{k_{n}, n} .

注意到

= k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 是 j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n} 的排列 \sum s (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) [A]_{k_{1}, 1} [A]_{k_{2}, 2} \dots [A]_{k_{n}, n} det (A (1 , 2 , \dots , n j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n})) .

再注意到, 因为

1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m

, 故, 由子阵的记号的定义,

[b_{j_{1}}, b_{j_{2}}, \dots, b_{j_{n}}] = B (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n} 1 , 2 , \dots , n) .

从而

= det (B A) 1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum det (B (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n})) .

证毕.

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