29. 由 个 元 次方程作成的方程组 (5)
本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).
线性方程组的故事要结束了. 毕竟, 我们已解决线性方程组的三个重要的问题:
(1) 一个线性方程组何时有解?
(2) 一个线性方程组有解时, 其解是否唯一?
(3) 一个线性方程组有解时, 我们如何找到它的全部的解?
我们用行列式回答了这三个问题, 作了线性方程组的一个理论. 所以, 理论地, 给了一个线性方程组, 我们可以计算一些行列式以确定它是否有解, 且有解时其解为何.
不过, 计算一个方阵的行列式并不是什么简单的事情: 级阵的行列式的具体的公式含 项, 而 级阵的行列式的具体的公式含 项. 所以, 像 Cramer 公式那样, 我们又作了一个 “理论的” 理论.
但是, 此理论仍然是重要的. 或许, 您还记得, 任给一个阵 , 必存在唯一的非负整数 , 使 有一个行列式非零的 级子阵, 但 没有行列式非零的 级子阵. 聪明的数学家意识到, 此 是重要的, 故专门为它起了一个名字, “秩”. 然后, 他们研究了秩, 发现: (a) 可以施适当的变换于阵 , 得到一个新阵 , 且 与 有相同的秩; (b) “适当的变换” 跟计算方阵的行列式比, 有较少的计算量 (具体地, 加、减、乘、除的次数); (c) 的秩不难计算, 甚至可被直接看出. 于是, 联合这个发现与我们的理论, 就是一个更好的线性方程组的理论. 若您想知道更多, 您可以见线性代数教材.
我就说这么多.