31. 杂例

例 31.1. 级阵. 设 是数. 求证: .

这里, 我展现一种用行列式定义的方法.

不过, 先回想定义:

定义 31.2 (行列式). 级阵 (). 定义 的行列式

证. 我们用数学归纳法证明此事. 取数 . 具体地, 设 为命题

对任何  级阵 ,

则, 我们的目标是: 对任何正整数 , 是正确的.

是正确的. 任取  级阵 . 那么, . 所以,

现在, 我们假定 是正确的. 我们要证 也是正确的. 任取  级阵 . 按  的列  展开, 有注意到, 每个 都是  级阵. 并且, 不难验证, . 从而, 根据假定, 所以所以, 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

当然, 本题也有其他的解法. 若您适当地运用行列式的性质, 您或许能较简单地解此题.

在讲后一个例前, 我有必要提及阵的新记号.

定义 31.3., , , 分别是 , , ,  阵. 我们约定, 记号表示一个 -阵 , 且对任何不超过  的正整数 与不超过  的正整数 ,

比如, 设

, , , 分别是 , , ,  阵. 再设不难验证, 若 , 且 , 则其中 表示去除  的列  后得到的阵 (不去除它的行), 表示去除  的行  后得到的阵 (不去除它的列).

例 31.4., 分别是 ,  级阵. 设  阵. 求证: 其中左下角的  零阵.

我还是用定义解此题. 若您学过 “按多列 (行) 展开行列式”, 您或许能较简单地解此题.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 取  级阵 . 具体地, 设 为命题

对任何  级阵 , 任何  , 其中左下角的  零阵.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 , 是正确的.

是正确的. 设 . 记其中左下角的  零阵. 则

现在, 我们假定 是正确的. 我们要证 也是正确的. 任取  级阵 . 记其中左下角的  零阵. 则注意到, 时, 其中左下角的  零阵. 根据假定, 从而

所以, 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.