32. La lasta leciono

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

这是 “最后一课”, la lasta leciono.

这是好的! 您学完了本章. 我的行列式课程完了. 您可能会想: “我还能再学些什么?” 我认为, 这个问题, 难回答: 毕竟, 行列式只是一个工具而已. 比如, 学完我的课程后, 可以进一步地学习线性代数.

若您想见别的文献, 以下的说明或许对您是有用的.

习惯地, 几乎每一个 (说汉语的) 作者都说 “矩阵”, 而不是 “阵” (当然, “方阵” 是一个例外).

习惯地, 人们叫一个 $1 \times n$ 阵为一个行向量, 叫一个 $m \times 1$ 阵为一个列向量. 行向量与列向量可被统一地叫作向量. 不过, 当初我写作时, 不想给您多的挑战, 故我未正式地引入 “向量” 二字.

我一般表 $A$ 的 $(i, j)$ -元以 $[A]_{i, j}$ . 此记号自然是准确的; 并且, 我们甚至可自由地代括号里的单文字 $A$ 以复杂的文字, 如 $3 A + 4 B$ (当 $A$ , $B$ 是同尺寸的阵时), 且方便地作计算: $[3 A + 4 B]_{i, j} = [3 A]_{i, j} + [4 B]_{i, j} = 3 [A]_{i, j} + 4 [B]_{i, j} .$

其实, 习惯地, 多的作者不用记号 $[A]_{i, j}$ , 而用较简单的记号 $a_{ij}$ (注意到, 这儿没有逗号): $⎣ ⎡ a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ [A]_{1, 1} [A]_{2, 1} ⋮ [A]_{m, 1} [A]_{1, 2} [A]_{2, 2} ⋮ [A]_{m, 2} \dots \dots \dots [A]_{1, n} [A]_{2, n} ⋮ [A]_{m, n} ⎦ ⎤ .$ 于是, 在此写法下, $A$ 的 $(2, 3)$ -元是 $a_{23}$ , $B$ 的 $(4, 2)$ -元是 $b_{42}$ 但是, 若 $i$ , $j$ 的一个不能被 “单文字” 表示, 则逗号仍被用: 比如, $C$ 的 $(11, 9)$ -元是 $c_{11, 9}$ . 并且, 这个记号, 要求阵被 “单文字” 表示. 比如, 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times s$ , $s \times n$ 阵. 习惯地, 不写 $A B$ 的 $(i, j)$ -元为 $ab_{ij}$ (因为, $ab_{ij}$ , 习惯地, 会被理解为一个数 $a$ 跟 $B$ 的 $(i, j)$ -元 $b_{ij}$ 的积), 而记 $C = A B$ (也就是, 为 $A B$ 取 “小名” $C$ ), 再说 $A B$ 的 $(i, j)$ -元 $c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i s} b_{s j} .$

一些作者不用括号 $[]$ , 而用括号 $()$ , 以包围数表, 作成一个阵: $⎝ ⎛ a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} ⎠ ⎞ = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} ⎦ ⎤ .$

一些作者用大写拉丁字母 $O$ 表示一个零阵.

一些作者用大写拉丁字母 $E$ 表示一个单位阵. 一些作者用数字 $1$ 表示一个单位阵.

一些作者用加粗的文字表示阵. 具体地, 他们写 $A$ , $B$ , $C$ , $E$ , $I$ , $1$ , $O$ , $0$ , $x$ , $\dots$ , 而不是 $A$ , $B$ , $C$ , $E$ , $I$ , $1$ , $O$ , $0$ , $x$ , $\dots$ . 这好地区分了阵与不是阵的对象. 不过, 加粗的文字不便被我们写, 故此类记号一般是印刷专用的.

一些作者, 习惯地, 写一个方阵 $A$ 的行列式 $det (A)$ 为 $∣ A ∣$ . 若 $A$ 的元被具体地写出, 则有记号 $∣ ∣ a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} ∣ ∣ = = ∣ ∣ ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} ⎦ ⎤ ∣ ∣ det ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} ⎦ ⎤ .$ 其实, 历史地, 行列式比阵早出现; 于是, 行列式有专门的竖线记号.

一些作者讲行列式时, 会提及 “余子式” 与 “代数余子式”. 通俗地, 一个方阵 $A$ 的 $(i, j)$ -元 $a_{i, j}$ 的余子式 $M_{i, j}$ , 是行列式 $∣ ∣ a_{1, 1} ⋮ a_{i - 1, 1} a_{i + 1, 1} ⋮ a_{n, 1} \dots \dots \dots \dots a_{1, j - 1} ⋮ a_{i - 1, j - 1} a_{i + 1, j - 1} ⋮ a_{n, j - 1} a_{1, j + 1} ⋮ a_{i - 1, j + 1} a_{i + 1, j + 1} ⋮ a_{n, j + 1} \dots \dots \dots \dots a_{1, n} ⋮ a_{i - 1, n} a_{i + 1, n} ⋮ a_{n, n} ∣ ∣ .$ 一个方阵 $A$ 的 $(i, j)$ -元 $a_{i, j}$ 的代数余子式 $A_{i, j}$ (一些作者记其为 $C_{i, j}$ ), 是 $(- 1)^{i + j} M_{i, j}$ . 于是, 不难看出, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$ , $j$ , $∣ A ∣ = = (- 1)^{i + 1} a_{i, 1} M_{i, 1} + (- 1)^{i + 2} a_{i, 2} M_{i, 2} + \dots + (- 1)^{i + n} a_{i, n} M_{i, n} (- 1)^{1 + j} a_{1, j} M_{1, j} + (- 1)^{2 + j} a_{2, j} M_{2, j} + \dots + (- 1)^{n + j} a_{n, j} M_{n, j},$ 或 $∣ A ∣ = = a_{i, 1} A_{i, 1} + a_{i, 2} A_{i, 2} + \dots + a_{i, n} A_{i, n} a_{1, j} A_{1, j} + a_{2, j} A_{2, j} + \dots + a_{n, j} A_{n, j} .$ 我没有讲这二个概念, 因为我引入了子阵及其记号 (一些作者不介绍表示子阵的记号). 其实, 余子式就是子阵的行列式: $M_{i, j} = det (A (i ∣ j))$ . 这么看来, 我不必引入余子式, 也不必引入代数余子式了. 并且, 我 “不想给您多的挑战”.

一些作者写方阵 $A$ 的古伴 $adj (A)$ 为 $A^{*}$ , 且叫 “古伴” (即 “古典伴随阵”) 为 “伴随” “伴随阵”.

我希望, 这些说明, 可助您适应其他的文献上的符号.

最后, 我想说, 行列式并不只是代数的工具. 行列式在微积分与几何里也是有用的; 您可以去相关的文献里找到更多的讨论.

我就说这么多. 再见.

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