10. 阵的一个新记号

本节, 我们学习阵的一个新记号. 它可使我们更好地理解阵与行列式.

定义 10.1. 设 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 是 $n$ 个 $m\times 1$ 阵. 定义 $\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]$ 是一个 $m\times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}{\left[\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]\right]}_{i,j}=[c_j{]}_{i,1}.\end{array}$$(通俗地, $\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]$ 就是合 $n$ 个 $m\times 1$ “小阵” $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 为一个 $m\times n$ “大阵” 的结果.)

习惯地, 我们可写 $\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]$ 为 $[c_1,c_2,\dots ,c_n]$.

这个写法, 自然强调了阵的列. 之后, 当我们研究行列式的性质时, 此写法是有用的.

例 10.2. 设 $c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, $c_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$, $c_3=\left[\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right]$, $c_4=\left[\begin{array}{c}10\\ 11\\ 12\end{array}\right]$. 则$$\begin{array}{r}[c_1,c_2,c_3,c_4]=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 7& 10\\ 2& 5& 8& 11\\ 3& 6& 9& 12\end{array}\right].\end{array}$$

论证下面的命题可被认为是一个好习题.

定理 10.3. 设 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$, $d_1$, $d_2$, $\dots$, $d_n$ 是 $2n$ 个 $m\times 1$ 阵. 设 $k$ 是数. 则$$\begin{array}{rl}& [c_1,c_2,\dots ,c_n]+[d_1,d_2,\dots ,d_n]=[c_1+d_1,c_2+d_2,\dots ,c_n+d_n],\\ & k[c_1,c_2,\dots ,c_n]=[k{c}_1,k{c}_2,\dots ,k{c}_n].\end{array}$$

证. 我证式 1. 论证式 2 比论证式 1 更简单, 故我留它为您的习题.

注意到 $[c_1,c_2,\dots ,c_n]$ 与 $[d_1,d_2,\dots ,d_n]$ 都是 $m\times n$ 阵, 它们自然可加, 结果也是 $m\times n$ 阵. 并且, $c_j$, $d_j$ 都是 $m\times 1$ 阵, 故 $c_j+d_j$ 也是. 不说元是否相等, 至少等式二侧的阵的尺寸是相等的. 现在, 比较元是否相等: $$\begin{array}{rl}& [[c_1,c_2,\dots ,c_n]+[d_1,d_2,\dots ,d_n]{]}_{i,j}\\ =& [[c_1,c_2,\dots ,c_n]{]}_{i,j}+[[d_1,d_2,\dots ,d_n]{]}_{i,j}\\ =& [c_j{]}_{i,1}+[d_j{]}_{i,1}\\ =& [c_j+d_j{]}_{i,1}\\ =& [[c_1+d_1,c_2+d_2,\dots ,c_n+d_n]{]}_{i,j}.\end{array}$$看来, 元也相等.

证明的要点有且只有一个: 用定义.

证毕.

设 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 是 $n$ 个 $n\times 1$ 阵. 那么, $[c_1,c_2,\dots ,c_n]$ 自然是一个 $n$ 级阵, 从而有行列式 $\det ([c_1,c_2,\dots ,c_n])$. 不难看到, 这里有 $2$ 重括号. 习惯地, 我们写$$\begin{array}{r}\det ([c_1,c_2,\dots ,c_n])=\det [c_1,c_2,\dots ,c_n].\end{array}$$不写 $()$ 似乎并不会引起误解, 所以, 这是没问题的.

例 10.4. 设 $c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, $c_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\\ 4\end{array}\right]$, $c_3=\left[\begin{array}{c}9\\ 7\\ 8\end{array}\right]$. 则$$\begin{array}{rl}\det [c_1,c_2,c_3]=& 1\cdot 6\cdot 8+2\cdot 4\cdot 9+3\cdot 5\cdot 7-1\cdot 4\cdot 7-2\cdot 5\cdot 8-3\cdot 6\cdot 9\\ =& 48+72+105-28-80-162\\ =& -45.\end{array}$$

前面, 我们合 “竖排的阵” 为一个大阵. 我们当然也可合 “横排的阵” 为一个大阵.

定义 10.5. 设 $r_1$, $r_2$, $\dots$, $r_m$ 是 $m$ 个 $1\times n$ 阵. 定义 $\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right]$ 是一个 $m\times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}{\left[\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right]\right]}_{i,j}=[r_i{]}_{1,j}.\end{array}$$(通俗地, $\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right]$ 就是合 $m$ 个 $1\times n$ “小阵” $r_1$, $r_2$, $\dots$, $r_m$ 为一个 $m\times n$ “大阵” 的结果.)

完全类似地, 我们有

定理 10.6. 设 $r_1$, $r_2$, $\dots$, $r_m$, $s_1$, $s_2$, $\dots$, $s_m$ 是 $2m$ 个 $1\times n$ 阵. 设 $k$ 是数. 则$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{s}_1\\ s_2\\ ⋮\\ s_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_1+s_1\\ r_2+s_2\\ ⋮\\ r_m+s_m\end{array}\right],\\ & k\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\\ ⋮\\ r_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}k{r}_1\\ k{r}_2\\ ⋮\\ k{r}_m\end{array}\right].\end{array}$$

证. 完全类似.

证毕.