9. 完全展开行列式

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

前面, 我们研究了按一列展开行列式. 它变大级阵的行列式为一些小级阵的行列式. 现在, 我们考虑 “完全展开行列式”; 也就是, 用不含行列式的公式表示行列式.

其实, 我给出行列式的定义后, 我们立即算出了小级阵 (不超过 $4$ ) 的行列式的具体的公式. $1$ 级阵的行列式非常简单, 有 $1$ 项; $2$ 级阵的行列式不难, 有 $2$ 项; $3$ 级阵的行列式较难, 但也不难记, 有 $6$ 项; $4$ 级阵的行列式更复杂了, 不好记 (也不必记), 有 $24$ 项. 本节, 我们的目标是, 写出行列式的具体的公式.

定理 9.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则 $= det (A) 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum s (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) s (j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}) [A]_{i_{1}, j_{1}} [A]_{i_{2}, j_{2}} \dots [A]_{i_{n}, j_{n}} .$

证. 我们按列 $j_{1}$ 展开 $det (A)$ , 有 $det (A) = 1 ⩽ i_{1} ⩽ n \sum (- 1)^{i_{1} + j_{1}} [A]_{i_{1}, j_{1}} det (A (i_{1} ∣ j_{1})) .$

注意到, $A$ 的列 $j_{2}$ 对应 $A (i_{1} ∣ j_{1})$ 的列 $j_{2} - ρ (j_{2}, j_{1})$ , 且 $A$ 的行 $i_{2}$ ( $i_{2} \neq = i_{1}$ ) 对应 $A (i_{1} ∣ j_{1})$ 的行 $i_{2} - ρ (i_{2}, i_{1})$ . 再注意到 $i_{2} - ρ (i_{2}, i_{1}) + j_{2} - ρ (j_{2}, j_{1}) = i_{2} + j_{2} + ρ (i_{1}, i_{2}) + ρ (j_{1}, j_{2}) - 2,$ 故 $= det (A (i_{1} ∣ j_{1})) 1 ⩽ i_{2} ⩽ n i_{2} \neq = i_{1} \sum (- 1)^{i_{2} + j_{2} + ρ (i_{1}, i_{2}) + ρ (j_{1}, j_{2})} [A]_{i_{2}, j_{2}} det (A (i_{1}, i_{2} ∣ j_{1}, j_{2})) .$

……

注意到, $A$ 的列 $j_{k}$ 对应 $A (i_{1}, \dots, i_{k - 1} ∣ j_{1}, \dots, j_{k - 1})$ 的列 $j_{k} - ρ (j_{k}, j_{1}) - \dots - ρ (j_{k}, j_{k - 1})$ , 且 $A$ 的行 $i_{k}$ ( $i_{k} \neq = i_{1}$ , $\dots$ , $i_{k - 1}$ ) 对应 $A (i_{1}, \dots, i_{k - 1} ∣ j_{1}, \dots, j_{k - 1})$ 的行 $i_{k} - ρ (i_{k}, i_{1}) - \dots - ρ (i_{k}, i_{k - 1})$ . 再注意到 $= i_{k} - ρ (i_{k}, i_{1}) - \dots - ρ (i_{k}, i_{k - 1}) + j_{k} - ρ (j_{k}, j_{1}) - \dots - ρ (j_{k}, j_{k - 1}) i_{k} + j_{k} + ρ (i_{1}, i_{k}) + \dots + ρ (i_{k - 1}, i_{k}) + ρ (j_{1}, j_{k}) + \dots + ρ (j_{k - 1}, j_{k}) - 2 (k - 1),$ 故 $= det (A (i_{1}, \dots, i_{k - 1} ∣ j_{1}, \dots, j_{k - 1})) 1 ⩽ i_{k} ⩽ n i_{k} \neq = i_{1}, \dots, i_{k - 1} \sum (- 1)^{i_{k} + j_{k} + ρ (i_{1}, i_{k}) + \dots + ρ (i_{k - 1}, i_{k}) + ρ (j_{1}, j_{k}) + \dots + ρ (j_{k - 1}, j_{k})} \cdot [A]_{i_{k}, j_{k}} det (A (i_{1}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, \dots, j_{k})) .$

……

最后, 我们得到 $= det (A (i_{1}, \dots, i_{n - 1} ∣ j_{1}, \dots, j_{n - 1})) 1 ⩽ i_{n} ⩽ n i_{n} \neq = i_{1}, \dots, i_{n - 1} \sum (- 1)^{i_{n} + j_{n} + ρ (i_{1}, i_{n}) + \dots + ρ (i_{n - 1}, i_{n}) + ρ (j_{1}, j_{n}) + \dots + ρ (j_{n - 1}, j_{n})} [A]_{i_{n}, j_{n}} .$ (其实, 这就是 $[A]_{i_{n}, j_{n}}$ ; 这里, 我们要注意到 $= = 1 + 1 i_{n} - ρ (i_{n}, i_{1}) - \dots - ρ (i_{n}, i_{n - 1}) + j_{n} - ρ (j_{n}, j_{1}) - \dots - ρ (j_{n}, j_{n - 1}) i_{n} + j_{n} + ρ (i_{1}, i_{n}) + \dots + ρ (i_{n - 1}, i_{n}) + ρ (j_{1}, j_{n}) + \dots + ρ (j_{n - 1}, j_{n}) - 2 (n - 1),$ 故 $1 = (- 1)^{1 + 1} = (- 1)^{i_{n} + j_{n} + ρ (i_{1}, i_{n}) + \dots + ρ (i_{n - 1}, i_{n}) + ρ (j_{1}, j_{n}) + \dots + ρ (j_{n - 1}, j_{n})} .$ 若您无印象了, 您可看本章, 节 1, 2, 3, 4.)

我们从后向前地代入, 有

= det (A) 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum (- 1)^{i_{1} + j_{1} + i_{2} + j_{2} + \dots + i_{n} + j_{n} + τ (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) + τ (j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n})} \cdot [A]_{i_{1}, j_{1}} [A]_{i_{2}, j_{2}} \dots [A]_{i_{n}, j_{n}} .

最后, 注意到

i_{1} + j_{1} + i_{2} + j_{2} + \dots + i_{n} + j_{n} = 2 (1 + 2 + \dots + n)

是偶数,

s

-记号跟

τ

-记号的关系, 以及

- 1

的整数次方的性质, 即得

= det (A) 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum s (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) s (j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}) [A]_{i_{1}, j_{1}} [A]_{i_{2}, j_{2}} \dots [A]_{i_{n}, j_{n}} .

证毕.

我们经常取 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ 为 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ . 注意到 $s (1, 2, \dots, n) = 1$ , 即得 $det (A) = 1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} 互不相同 \sum s (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) [A]_{i_{1}, 1} [A]_{i_{2}, 2} \dots [A]_{i_{n}, n} .$

例 9.2. 设 $A$ 为 $3$ 级阵. 那么, 适合条件 “ $1 ⩽ i_{1}, i_{2}, i_{3} ⩽ 3$ , 且 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $i_{3}$ 互不相同” 的 $(i_{1}, i_{2}, i_{3})$ 恰有 $6$ 个: $(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) .$ 回想 $s (i_{1}, i_{2}, i_{3}) = sgn (i_{2} - i_{1}) \cdot sgn (i_{3} - i_{1}) \cdot sgn (i_{3} - i_{2}) .$ 不难算出, $s (1, 2, 3) = s (2, 3, 1) = s (3, 1, 2) = 1, s (1, 3, 2) = s (2, 1, 3) = s (3, 2, 1) = - 1.$ 故 $det (A) = + [A]_{1, 1} [A]_{2, 2} [A]_{3, 3} + [A]_{2, 1} [A]_{3, 2} [A]_{1, 3} + [A]_{3, 1} [A]_{1, 2} [A]_{2, 3} - [A]_{1, 1} [A]_{3, 2} [A]_{2, 3} - [A]_{2, 1} [A]_{1, 2} [A]_{3, 3} - [A]_{3, 1} [A]_{2, 2} [A]_{1, 3} .$

利用完全展开, 我们不难看出, $n$ 级阵的行列式有 $n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$ 项. 毕竟, $1 ⩽ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ⩽ n$ , 且 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 互不相同相当于 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 是 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 的排列. 我们知道, $n$ 个互不相同的文字共有 $n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$ 个排列.

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