8. 按多列展开行列式

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为 “选学内容” 的节).

本节, 我们学习按多列展开行列式.

我们已知, 我们可按任何一列展开行列式:

定理 8.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $j$ 为整数, 且 $1 ⩽ j ⩽ n$ . 则 $det (A) = i = 1 \sum n (- 1)^{i + j} [A]_{i, j} det (A (i ∣ j)) .$

自然地, 我们会想, 我们能否 “按多列展开行列式”. 此事的回答是 “是”.

定理 8.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $k$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{k}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k}$ . 则 $det (A) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum det (A (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , i _{2} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$

若 $k = 1$ , 则 $A (j _{1} i _{1}) = [[A]_{i_{1}, j_{1}}]$ 是一个 $1$ 级阵. 回想, $1$ 级阵 $[a]$ 的行列式就是 $a$ . 所以, 若 $k = 1$ , 则此定理就是 “按一列展开行列式”.

论证此事前, 我想用一个例助您理解, 此定理在说什么.

例 8.3. 设 $A = ⎣ ⎡ 12346785111291016131415 ⎦ ⎤ .$

一方面, 根据定义, $= det (A) + (- 1)^{1 + 1} [A]_{1, 1} det (A (1∣1)) + (- 1)^{2 + 1} [A]_{2, 1} det (A (2∣1)) + (- 1)^{3 + 1} [A]_{3, 1} det (A (3∣1)) + (- 1)^{4 + 1} [A]_{4, 1} det (A (4∣1)) .$ 可算出 $det (A (1∣1)) = det ⎣ ⎡ 78512910131415 ⎦ ⎤ = - 180, det (A (2∣1)) = det ⎣ ⎡ 68511910161415 ⎦ ⎤ = - 20, det (A (3∣1)) = det ⎣ ⎡ 675111210161315 ⎦ ⎤ = 20, det (A (4∣1)) = det ⎣ ⎡ 67811129161314 ⎦ ⎤ = - 156.$ 所以 $det (A) = 1 \cdot (- 180) - 2 \cdot (- 20) + 3 \cdot 20 - 4 \cdot (- 156) = 544.$

另一方面, 我们试按列 $1$ , $2$ 展开. 取 $j_{1}$ , $j_{2}$ 为 $1$ , $2$ . 不难写出, 适合条件 “ $1 ⩽ i_{1} < i_{2} ⩽ 4$ ” 的 $(i_{1}, i_{2})$ 有 $6$ 个: $(1, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 3)$ , $(1, 4)$ , $(2, 4)$ , $(3, 4)$ . 由此, 可写出 $A (1 , 2 1 , 2) = [1267], (- 1)^{1 + 2 + 1 + 2} = + 1, A (1, 2∣1, 2) = [9101415], A (1 , 2 1 , 3) = [1368], (- 1)^{1 + 3 + 1 + 2} = - 1, A (1, 3∣1, 2) = [12101315], A (1 , 2 2 , 3) = [2378], (- 1)^{2 + 3 + 1 + 2} = + 1, A (2, 3∣1, 2) = [11101615], A (1 , 2 1 , 4) = [1465], (- 1)^{1 + 4 + 1 + 2} = + 1, A (1, 4∣1, 2) = [1291314], A (1 , 2 2 , 4) = [2475], (- 1)^{2 + 4 + 1 + 2} = - 1, A (2, 4∣1, 2) = [1191614], A (1 , 2 3 , 4) = [3485], (- 1)^{3 + 4 + 1 + 2} = + 1, A (3, 4∣1, 2) = [11121613] .$ 定理说, $det (A) = = = = + det (A (1 , 2 1 , 2)) (- 1)^{1 + 2 + 1 + 2} det (A (1, 2∣1, 2)) + det (A (1 , 2 1 , 3)) (- 1)^{1 + 3 + 1 + 2} det (A (1, 3∣1, 2)) + det (A (1 , 2 2 , 3)) (- 1)^{2 + 3 + 1 + 2} det (A (2, 3∣1, 2)) + det (A (1 , 2 1 , 4)) (- 1)^{1 + 4 + 1 + 2} det (A (1, 4∣1, 2)) + det (A (1 , 2 2 , 4)) (- 1)^{2 + 4 + 1 + 2} det (A (2, 4∣1, 2)) + det (A (1 , 2 3 , 4)) (- 1)^{3 + 4 + 1 + 2} det (A (3, 4∣1, 2)) + (- 5) \cdot (- 5) - (- 10) \cdot 50 + (- 5) \cdot 5 + (- 19) \cdot 51 - (- 18) \cdot 10 + (- 17) \cdot (- 49) 25 + 500 - 25 - 969 + 180 + 833 544.$

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P (k)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$ (其中 $n ⩾ k$ ), 对任何不超过 $n$ 的 $k$ 个正整数 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{k}$ (其中 $j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k}$ ), $det (A) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum det (A (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , i _{2} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$

则, 我们的目标是: 对任何正整数

k

,

P (k)

是正确的.

$k = 1$ 时, 这就是我们证过的 “按一列展开行列式”.

现在, 我们假定 $P (k - 1)$ 是正确的. 我们要证 $P (k)$ 也是正确的. 任取一个 $n$ 级阵 $A$ ( $n ⩾ k$ ). 任取不超过 $n$ 的正整数 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{k}$ , 且 $j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k}$ . 按列 $j_{1}$ 展开行列式, 知 $det (A) = d_{1} = 1 \sum n [A]_{d_{1}, j_{1}} (- 1)^{d_{1} + j_{1}} det (A (d_{1} ∣ j_{1})) .$

注意到, $A$ 的列 $j_{2}$ , $j_{3}$ , $\dots$ , $j_{k}$ 跟 $A (d_{1} ∣ j_{1})$ 的列 $j_{2} - 1$ , $j_{3} - 1$ , $\dots$ , $j_{k} - 1$ 对应. 并且, $A$ 的行 $i$ ( $i \neq = d_{1}$ ) 跟 $A (d_{1} ∣ j_{1})$ 的行 $i - ρ (i, d_{1})$ 对应. 利用假定, 我们按列 $j_{2} - 1$ , $j_{3} - 1$ , $\dots$ , $j_{k} - 1$ 展开每一个 $det (A (d_{1} ∣ j_{1}))$ , 有 $det (A (d_{1} ∣ j_{1})) = 1 ⩽ d_{2} < \dots < d_{k} ⩽ n d_{1} \neq = d_{2}, \dots, d_{k} \sum det (A (j _{2} , \dots , j _{k} d _{2} , \dots , d _{k})) \cdot (- 1)^{d_{2} - ρ (d_{2}, d_{1}) + \dots + d_{k} - ρ (d_{k}, d_{1}) + j_{2} + \dots + j_{k} - (k - 1)} \cdot det (A (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$ 利用分配律 (还有加法的结合律与交换律), 有 $det (A) = 1 ⩽ d_{1} ⩽ n 1 ⩽ d_{2} < \dots < d_{k} ⩽ n d_{1} \neq = d_{2}, \dots, d_{k} \sum [A]_{d_{1}, j_{1}} (- 1)^{d_{1} + j_{1}} det (A (j _{2} , \dots , j _{k} d _{2} , \dots , d _{k})) \cdot (- 1)^{d_{2} - ρ (d_{2}, d_{1}) + \dots + d_{k} - ρ (d_{k}, d_{1}) + j_{2} + \dots + j_{k} - (k - 1)} \cdot det (A (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$ 注意到 $= = d_{1} + j_{1} + d_{2} - ρ (d_{2}, d_{1}) + \dots + d_{k} - ρ (d_{k}, d_{1}) + j_{2} + \dots + j_{k} - (k - 1) + (d_{1} + \dots + d_{k}) + (j_{1} + \dots + d_{k}) + (ρ (d_{1}, d_{2}) - 1) + \dots + (ρ (d_{1}, d_{k}) - 1) - (k - 1) (d_{1} + \dots + d_{k}) + (j_{1} + \dots + j_{k}) + (ρ (d_{1}, d_{2}) + \dots + ρ (d_{1}, d_{k})) - 2 (k - 1),$ 故 $det (A) = 1 ⩽ d_{1} ⩽ n 1 ⩽ d_{2} < \dots < d_{k} ⩽ n d_{1} \neq = d_{2}, \dots, d_{k} \sum (- 1)^{ρ (d_{1}, d_{2}) + \dots + ρ (d_{1}, d_{k})} [A]_{d_{1}, j_{1}} det (A (j _{2} , \dots , j _{k} d _{2} , \dots , d _{k})) \cdot (- 1)^{d_{1} + \dots + d_{k} + j_{1} + \dots + j_{k}} det (A (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$

注意到 $1 ⩽ d_{1} ⩽ n 1 ⩽ d_{2} < \dots < d_{k} ⩽ n d_{1} \neq = d_{2}, \dots, d_{k} \sum \dots = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum 1 ⩽ s ⩽ k \sum (\dots) ∣ ∣_{d_{1} = i_{s}_{r - ρ (s, r)} (2 ⩽ r ⩽ k) d_{r} = i_{r - ρ (s, r)} (2 ⩽ r ⩽ k)} .$ 我解释此式. 要从 $1$ 至 $n$ 这 $n$ 个整数中选出 $k$ 个数 $d_{1}$ , $d_{2}$ , $\dots$ , $d_{k}$ , 适合条件 $d_{2} < \dots < d_{k}$ , 且 $d_{1}$ 不跟 $d_{2}$ , $\dots$ , $d_{k}$ 的任何一个相等, 我们可以这样. 先从 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 里从小到大地挑 $k$ 个数 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{k}$ . 然后, 我们从 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{k}$ 选第 $s$ 小的数 $i_{s}$ 为 $d_{1}$ , 再分别取 $d_{2}$ , $d_{3}$ , $\dots$ , $d_{k}$ 为 $i_{1}$ , $\dots$ , $i_{s - 1}$ , $i_{s + 1}$ , $\dots$ , $i_{k}$ . (若 $s = 1$ , 则不出现 $i_{1}$ ; 若 $s = k$ , 则不出现 $i_{k}$ . 下同.) 更具体地, 我们使 $d_{1}$ 为 $i_{s}$ , 再使 $d_{r}$ ( $r ⩾ 2$ ) 为 $i_{ℓ (r)}$ , 其中 $2 ⩽ r ⩽ s$ 时 $ℓ (r) = r - 1$ , 而 $r > s$ 时 $ℓ (r) = r$ . 利用 $ρ$ -记号, 就是 $d_{1} = i_{s}$ , 且 $d_{r} = i_{r - ρ (s, r)}$ ( $2 ⩽ r ⩽ k$ ).

当

d_{1} = i_{s}

, 且

d_{r} = i_{r - ρ (s, r)}

(

2 ⩽ r ⩽ k

) 时,

d_{1} = i_{s}, ρ (d_{1}, d_{2}) + \dots + ρ (d_{1}, d_{k}) = s - 1 = (s + 1) - 2, [A]_{d_{1}, j_{1}} = [A]_{i_{s}, j_{1}}, A (j _{2} , \dots , j _{k} d _{2} , \dots , d _{k}) = A (j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{s - 1} , i _{s + 1} , \dots , i _{k}), d_{1} + \dots + d_{k} = i_{1} + \dots + i_{k}, A (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}) = A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}) .

故

= det (A) 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum 1 ⩽ s ⩽ k \sum (- 1)^{s + 1} [A]_{i_{s}, j_{1}} det (A (j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{s - 1} , i _{s + 1} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + \dots + i_{k} + j_{1} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .

注意到

i_{1} + \dots + i_{k}

与

A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})

都跟

s

无关, 故由分配律 (还有加法的结合律与交换律),

= det (A) 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum (1 ⩽ s ⩽ k \sum (- 1)^{s + 1} [A]_{i_{s}, j_{1}} det (A (j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{s - 1} , i _{s + 1} , \dots , i _{k}))) \cdot (- 1)^{i_{1} + \dots + i_{k} + j_{1} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .

注意到

[A]_{i_{s}, j_{1}}

是

A (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})

的

(s, 1)

-元, 故

= 1 ⩽ s ⩽ k \sum (- 1)^{s + 1} [A]_{i_{s}, j_{1}} det (A (j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{s - 1} , i _{s + 1} , \dots , i _{k})) det (A (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) .

综上, 我们有

det (A) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum det (A (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , i _{2} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .

所以,

P (k)

是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

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