7. 按一列展开行列式

本节, 我们学习按一列展开行列式.

我们先回想定义.

定义 7.1 (行列式). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 定义 $A$ 的行列式$$\begin{array}{r}\det (A)=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)),& n⩾2.\end{array}\end{array}$$

不难看出, $[A{]}_{1,1}$, $[A{]}_{2,1}$, $\dots$, $[A{]}_{n,1}$ 全为 $A$ 的列 $1$ 的元, 故我们说, 此定义按列 $1$ 展开行列式. 自然地, 我们会想, 我们能否 “按其他的列展开行列式”. 此事的回答是 “是”.

定理 7.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $j$ 为整数, 且 $1⩽j⩽n$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

或许, 我应解释, 当 $A$ 是 $1$ 级阵时, $\det (A(1|1))$ 是什么. 显然, 去除 $A$ 的唯一的一行与唯一的一列后, 就不剩下任何一个元了. 我给出的阵的定义显然未涉及此情形. 我给出的行列式的定义也未涉及此情形. 我们作一个约定: $1$ 级阵 $\mathbf{A}$ 的子阵 $\mathbf{A}(1|1)$ 是 “$0$ 级阵”, 且 “$0$ 级阵” 的行列式是 $1$. 这么看来, $(-1{)}^{1+1}[A{]}_{1,1}\det (A(1|1))$ 就是 $1\cdot [A{]}_{1,1}\cdot 1$, 即 $[A{]}_{1,1}$, 跟行列式的定义一样.

我们无妨先用 $2$ 级阵验证此命题. 设 $A$ 是 $2$ 级阵 (也就是, 取 $n=2$). $j=1$ 时, 这就是定义; $j=2$ 时,$$\begin{array}{rl}\det (A)=& [A{]}_{1,1}\det [[A{]}_{2,2}]-[A{]}_{2,1}\det [[A{]}_{1,2}]\\ =& -[A{]}_{1,2}\det [[A{]}_{2,1}]+[A{]}_{2,2}\det [[A{]}_{1,1}]\\ =& (-1{)}^{2+1}[A{]}_{2,1}\det (A(2|1))+(-1{)}^{2+2}[A{]}_{2,2}\det (A(2|2)).\end{array}$$所以, $n=2$, $j=2$ 时, 命题是正确的.

证. 我们会用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

用数学归纳法不应是一个意外: 毕竟, 我给出的行列式的定义就是先定义小级阵的行列式, 再用小级阵的行列式定义大级阵的行列式. 值得注意的是, 我强调了 “任何” 二字; 这一点, 在后面的论证里, 是重要的.

设 $n=1$. $j=1$ 时, 显然. 故 $P(1)$ 是正确的.

设 $n=2$. $j=1$ 时, 也显然 (定义). $j=2$ 时, 我们已经验证过了. 故 $P(2)$ 是正确的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的. 我们要证 $P(m)$ 也是正确的. 任取一个 $m$ 级阵 $A$. 若 $j=1$, 这是定义, 不必证. 现设 $j\ne 1$. 为方便, 对二个整数 $i$, $j$, 我们定义$$\begin{array}{r}\rho (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i<j;\\ 1,& i⩾j.\end{array}\end{array}$$于是$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne i\end{array}}(-1{)}^{(\ell -\rho (\ell ,i))+(j-1)}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{i=1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne i\end{array}}(-1{)}^{(\ell -\rho (\ell ,i))+(j-1)}(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ i\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{(\ell -\rho (\ell ,i))+(j-1)}(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ i\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{\ell }(-1{)}^{\rho (\ell ,i)}(-1{)}^i(-1{)}^j[A{]}_{i,1}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ i\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{\ell +j}(-1{)}^{i-\rho (i,\ell )+1}[A{]}_{i,1}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{\ell =1}^m(-1{)}^{\ell +j}[A{]}_{\ell ,j}\sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽m\\ i\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{i-\rho (i,\ell )+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i,\ell |1,j))\\ =& \sum _{\ell =1}^m(-1{)}^{\ell +j}[A{]}_{\ell ,j}\det (A(\ell |j)).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

我想, 适当地解释这几步, 是有好处的.

第 1 个等号是行列式的定义.

第 2 个等号利用了假定. 我们假定可按任何列展开任何 $m-1$ 级阵的行列式. $A(i|1)$ 不就是 $m-1$ 级阵吗? 那么, 我们就按 $A(i|1)$ 的列 $j-1$ 展开. $A(i|1)$ 的列 $j-1$ 正好对应 $A$ 的列 $j$. 最后, 注意到, $\ell \ne i$ 时, $A$ 的 $(\ell ,j)$-元恰是 $A(i|1)$ 的 $(\ell -\rho (\ell ,i),j-1)$-元.

第 3 个等号利用了分配律 (还有加法的结合律与交换律).

第 4 个等号利用了加法的结合律与交换律. (通俗地, 就是 “求和号的次序可换”.)

第 5 个等号利用了 $-1$ 的整数次方的性质.

第 6 个等号还是利用 $-1$ 的整数次方的性质. 注意到, $i\ne \ell$ 时, $\rho (i,\ell )+\rho (\ell ,i)=1$.

第 7 个等号又用了一次分配律 (还有加法的结合律与交换律). 不过, 跟第 3 个等号对比, 这次是反过来用.

第 8 个等号用到了行列式的定义. 注意到, $i\ne \ell$ 时, $A$ 的 $(i,1)$-元恰是 $A(\ell |j)$ 的 $(i-\rho (i,\ell ),1)$-元 (其中 $j\ne 1$).

证毕.

本节的定理是重要的.