本节, 我要定义本章的主角, 即行列式 (determinanto).
值得注意的是, 我并不为每一个阵定义行列式; 我只为方阵定义行列式.
设 A 是 n 级阵 (n⩾1). 定义 A 的行列式det(A)=⎩⎨⎧[A]1,1,i=1∑n(−1)i+1[A]i,1det(A(i∣1)),n=1;n⩾2.
我们看 4 个例.
设 A=[a] 是一个 1 级阵. 根据定义, det(A)=[A]1,1=a.
设 A=[abcd] 是一个 2 级阵. 根据定义, det(A)====(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+(−1)2+1[A]2,1det(A(2∣1))[A]1,1det[[A]2,2]−[A]2,1det[[A]1,2][A]1,1[A]2,2−[A]2,1[A]1,2ad−bc.此事是重要的; 我们会经常用它. 形象地, 我们可用 “对角线” 记 2 级阵的行列式.
设 A 是一个 3 级阵. 根据定义与上个例的结果, =====det(A)+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+(−1)2+1[A]2,1det(A(2∣1))+(−1)3+1[A]3,1det(A(3∣1))+[A]1,1det[[A]2,2[A]3,2[A]2,3[A]3,3]−[A]2,1det[[A]1,2[A]3,2[A]1,3[A]3,3]+[A]3,1det[[A]1,2[A]2,2[A]1,3[A]2,3]+[A]1,1([A]2,2[A]3,3−[A]3,2[A]2,3)−[A]2,1([A]1,2[A]3,3−[A]3,2[A]1,3)+[A]3,1([A]1,2[A]2,3−[A]2,2[A]1,3)+[A]1,1[A]2,2[A]3,3−[A]1,1[A]3,2[A]2,3−[A]2,1[A]1,2[A]3,3+[A]2,1[A]3,2[A]1,3+[A]3,1[A]1,2[A]2,3−[A]3,1[A]2,2[A]1,3+[A]1,1[A]2,2[A]3,3+[A]2,1[A]3,2[A]1,3+[A]3,1[A]1,2[A]2,3−[A]1,1[A]3,2[A]2,3−[A]2,1[A]1,2[A]3,3−[A]3,1[A]2,2[A]1,3.数学家 Pierre Frédéric Sarrus 给了我们一个记 3 级阵的行列式的好方法. 我们在阵的下方重写此阵. 由左上至右下的对角线 (实线) 上的数的积的和减由左下至右上的对角线 (虚线) 上的数的积的和即为此阵的行列式.
值得注意的是, 前面的对角线法则无法被推广到 n 级阵 (n⩾4) 的行列式. (当然, 我不要求您记 “如此具体的公式”; 您记定义即可.)
设 A 是一个 4 级阵. 根据定义, =det(A)+(−1)1+1[A]1,1det(A(1∣1))+(−1)2+1[A]2,1det(A(2∣1))+(−1)3+1[A]3,1det(A(3∣1))+(−1)4+1[A]4,1det(A(4∣1)).利用跟上个例类似的方法, 并利用上个例的结果, 可知结果含 24 项: +[A]1,1[A]2,2[A]3,3[A]4,4+[A]1,1[A]3,2[A]4,3[A]2,4+[A]1,1[A]4,2[A]2,3[A]3,4−[A]1,1[A]2,2[A]4,3[A]3,4−[A]1,1[A]3,2[A]2,3[A]4,4−[A]1,1[A]4,2[A]3,3[A]2,4−[A]2,1[A]1,2[A]3,3[A]4,4−[A]2,1[A]3,2[A]4,3[A]1,4−[A]2,1[A]4,2[A]1,3[A]3,4+[A]2,1[A]1,2[A]4,3[A]3,4+[A]2,1[A]3,2[A]1,3[A]4,4+[A]2,1[A]4,2[A]3,3[A]1,4+[A]3,1[A]1,2[A]2,3[A]4,4+[A]3,1[A]2,2[A]4,3[A]1,4+[A]3,1[A]4,2[A]1,3[A]2,4−[A]3,1[A]1,2[A]4,3[A]2,4−[A]3,1[A]2,2[A]1,3[A]4,4−[A]3,1[A]4,2[A]2,3[A]1,4−[A]4,1[A]1,2[A]2,3[A]3,4−[A]4,1[A]2,2[A]3,3[A]1,4−[A]4,1[A]3,2[A]1,3[A]2,4+[A]4,1[A]1,2[A]3,3[A]2,4+[A]4,1[A]2,2[A]1,3[A]3,4+[A]4,1[A]3,2[A]2,3[A]1,4.根据 “对角线” 法则, 我们应减由左下至右上的对角线上的数的积. 可是, 上式说, [A]4,1[A]3,2[A]2,3[A]1,4 前的符号实则为 1, 而不是 “对角线” 法则所认为的 −1.
