5. 阵

虽然, 理论地, 可不用阵 (矩形数表), 直接讲行列式, 但 “为方便说话”, 我决定先介绍阵的基础. 相应地, 行列式, 会被定义为方阵 (正方形数表) 的一个属性.

定义 5.1 (阵)., 是正整数. 我们说, 由 个文字作成的 矩形文字表 (此处的 “文字”, 一般是数, 如整数、有理数、实数等; 当然, 也可是 “跟数有关”, 但又不是数的对象, 如整式、分式等) 是一个  阵.

我们说, 有序对  的尺寸. 习惯地, 我们也可写 . 注意这里的文字 : 一方面, 它可表示乘法, 表示此阵有  个元; 另一方面, 因为我们较少用 表示乘法, 故当我们用 时, 往往有某种特别的意思. 比如, 的尺寸是不一样的, 虽然这二个阵都含  个元.

我们说,   的行 ,   的列 . 我们说, 行 , 列  交叉处的元 -元.

我们也可写  . 这种写法是较紧凑的. 为了使二个或多个元不被认为是一个元, 我们在最后一个元前的每一个元后, 加了一个逗号 (当然了, 逗号后, 也有一定的空白).

若一个阵的尺寸 适合 , 我们说, 它是一个方阵.  阵的一个常用的名字是  级阵 ( 级方阵).

习惯地, 我们认为, 是同一个对象; 形象地, 我们写 .

若一个阵的元全是整数, 我们说, 它是一个整阵; 若一个阵的元全是有理数, 我们说, 它是一个有理阵; 若一个阵的元全是实数, 我们说, 它是一个实阵; 若一个阵的元全是数, 我们说, 它是一个数阵. 本课程研究的阵一般都是数阵, 因为我要用数的运算定义阵的大多数运算.

最后, 但并非不重要地, 说二个阵 , 相等, 就是说, 的行数 (即其尺寸 的第 1 分量 ) 等于 的行数, 的列数 (即其尺寸 的第 2 分量 ) 等于 的列数, 且对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 . (通俗地, 二个阵相等, 相当于它们 “完全一样”.) 若二个阵 , 相等, 我们写 .

我们用文字的相等 (当然, 还有数的相等; 不过, 数也算是文字), 定义了阵的相等. 文字的相等适合如下三条性质:

(1) 每一个文字 都跟自己相等, 即 .

(2) 若二个文字 , 适合 , 则 .

(3) 若三个文字 , , 适合 , 且 , 则 .

我们可以证明, 阵的相等也适合类似的三条性质.

定理 5.2. 阵的相等适合如下三条性质:

(1) 每一个阵 都跟自己相等, 即 .

(2) 若二个阵 , 适合 , 则 .

(3) 若三个阵 , , 适合 , 且 , 则 .

证. (1) 设  的行数与列数分别是 , . 那么,  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 . (我们用到了文字的相等的性质 (1).) 所以, .

(2) 设二个阵 , 适合 . 设  的行数与列数分别是 , . 那么,  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 所以,  的行数是 ,  的列数是 . 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 .

由此可见,  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 . (我们用到了文字的相等的性质 (2).) 所以, .

(3) 设三个阵 , , 适合 , 且 . 设  的行数与列数分别是 , . 那么, 因为 , 故  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 从而,  的行数是 ,  的列数是 . 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 .

又因为 , 故  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 从而,  的行数是 ,  的列数是 . 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 .

由此可见,  的行数  等于  的行数,  的列数  等于  的列数. 并且, 对任何不超过行数 的正整数 , 与任何不超过列数 的正整数 , 必 . (我们用到了文字的相等的性质 (3).) 所以, .

证毕.

在进入数阵的讨论前, 我先引入跟数较不紧密的阵的运算.

定义 5.3 (转置). 是一个  阵. 定义  转置为一个  , 其中, 对任何不超过  的正整数 与任何不超过  的正整数 ,

例 5.4.是一个  阵. 则  的转置 是一个  阵, 且因 , 故由此, 不难看出: (a)  的行  的列  对应 (), 且  的列  的行  对应 (); (b) 互换  的行与列, 即得 .

关于转置, 我们有一个简单的结论.

定理 5.5. 是一个阵. 则 的转置 的转置 就是 , 即

证. 是一个  阵. 则 是一个  阵. 所以, 是一个  阵. 不说元是否相等, 至少等式二侧的阵的尺寸是相等的. 现在, 比较元是否相等: 看来, 元也相等.

证毕.

习惯地, 用转置, 我们可写 . 这种写法是有用的, 因为它可以节约一些空白: 对比 .

在学习行列式时, 我们经常要研究去除阵的若干行、若干列后的得到的阵. 这就是 “子阵”.

定义 5.6 (子阵, 1). 是一个  阵. 设 , , 是不超过 的互不相同的正整数. 设 , , 是不超过 的互不相同的正整数. 那么, 我们可去除 的行 , , , 且去除 的列 , , . 此时, 还剩  行与  列. 不改变不被去除的元的位置, 这作成了一个  阵, 我们记其为 .

例 5.7., , 且 .

利用 “缺项定位公式”, 我们不难写出, 若 不等于 , , 的任何一个, 且 不等于 , , 的任何一个, 则  -元一定是  -元.

前面, 我们 “减法地” 定义了子阵 (及记号), 因为我们 “去除” 若干行若干列. 有时, 考虑从原阵 “取出” 若干行若干列作成的阵是方便的; 也就是说, 我们也要 “加法地” 定义子阵 (及记号).

定义 5.8 (子阵, 2). 阵. 设 , , , 是不超过 的正整数, 且互不相同. 设 , , , 是不超过 的正整数, 且互不相同. 那么, 我们记取 的行 , , 与列 , , 交叉处的元按原来的次序排成的  阵为

例 5.9., , 且 . 注意定义里的 “原来的次序”, 故 不等于

 阵. 设 , 且 . 不难看出, 对任何不超过  的正整数 与任何不超过  的正整数 ,

现在, 我们正式进入数阵的讨论. 从现在开始, 我所说的阵都是数阵.

我说过, 我要利用数的运算定义阵的运算. 我们先从较简单的 “加法” “减法” “数乘” 开始. 我会在后面讨论阵的较复杂的运算.

定义 5.10 (阵的加法).,  阵. 定义 是一个  阵, 其中, 对任何不超过 的正整数 与任何不超过 的正整数 , (通俗地, (同尺寸的) 阵的加法就是相应位置的元的加法.)

例 5.11.

不难验证, 阵的加法有结合律与交换律. 具体地, 设 , , 是三个同尺寸的阵. 那么, , 且 .

我验证结合律; 我留交换律为您的习题.

证., , 的尺寸都是 . 那么, 的尺寸也是 , 故 的尺寸也是 . 同理, 的尺寸也是 , 故 的尺寸也是 . 现在, 比较元是否相等: 注意到, 我用到了数的加法的结合律.

证毕.

因为结合律, 我们可简单地写 .

我们可用加法定义减法. 设 ,  阵. 作一个   (即, 零阵), 其中 . 不难算出, (我留此为您的习题). 再作一个  , 其中 . 不难算出, (我留此为您的习题). 我们说, 这么作出的 相反阵. 我们知道, 数 I 减数 II, 就是数 I 加数 II 的相反数. 所以, 我们定义, . 于是(通俗地, (同尺寸的) 阵的减法就是相应位置的元的减法.)

我们知道, 二个数 , 相等, 相当于 . 由此可证: 二个同尺寸的阵 , 相等, 相当于 .

我以数乘运算结束本节.

定义 5.12 (阵的数乘). 是一个  阵. 设 是一个数. 定义 也是一个  阵, 其中, 对任何不超过 的正整数 与任何不超过 的正整数 , (通俗地, 阵的数乘就是以一个数乘阵的每一个元.)

例 5.13.. 则

, 是数. 设 , 是二个同尺寸的阵. 不难验证,证明式 1 时, 要用到 ( 是数); 证明式 2 时, 要用到数的乘法的结合律; 证明式 3 与式 4 时, 要用到数的乘法与加法的分配律.

我验证式 2 与式 4; 您验证其他的式.

证., 是数. 设 , 的尺寸都是 .

 2: 首先, 因为  阵, 故  阵, 从而 也是  阵. 其次, 因为  阵, 故  阵. 现在, 比较元是否相等:

 4: 首先, 因为 ,  阵, 故  阵, 从而 也是  阵. 其次, 因为 ,  阵, 故 ,  阵, 从而 也是  阵. 现在, 比较元是否相等:

证毕.

最后, 我提几件小事.

(1) 对任何阵 , . 这里, 等式左侧的 是数字零, 而等式右侧的 是元全为零的零阵 (当然, 它与 的尺寸相等).

(2) 对任何数 , . 这里, 等式左右二侧的 都是零阵.

(3) 设 , 是数. 设 , 是二个同尺寸的阵. 则