设 n 级阵 A 的列 1, 2, …, n 分别为 a1, a2, …, an. 设 ℓ1, ℓ2, …, ℓn 是不超过 n 的正整数, 且互不相同. 则det[aℓ1,aℓ2,…,aℓn]=s(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)det(A).
不过, 论证此事前, 我想用一个例助您理解, 此定理在说什么.
设 a1=⎣⎡123⎦⎤, a2=⎣⎡564⎦⎤, a3=⎣⎡978⎦⎤. 则det[a1,a2,a3]===1⋅6⋅8+2⋅4⋅9+3⋅5⋅7−1⋅4⋅7−2⋅5⋅8−3⋅6⋅948+72+105−28−80−162−45.
取 ℓ1, ℓ2, ℓ3 为 2, 3, 1. 则 s(2,3,1)=1. 不难算出det[a2,a3,a1]===5⋅7⋅3+6⋅8⋅1+4⋅9⋅2−5⋅8⋅2−6⋅9⋅3−4⋅7⋅1105+48+72−80−162−28−45.这就是 det[a1,a2,a3].
再取 ℓ1, ℓ2, ℓ3 为 1, 3, 2. 则 s(1,3,2)=−1. 不难算出det[a1,a3,a2]===1⋅7⋅4+2⋅8⋅5+3⋅9⋅6−1⋅8⋅6−2⋅9⋅4−3⋅7⋅528+80+162−48−72−10545.这就是 −det[a1,a2,a3].
证. 作 n 级阵 B=[aℓ1,aℓ2,…,aℓn]. 注意到, [B]u,v=[aℓv]u,1=[A]u,ℓv.
我们完全展开 det(B). 取 j1, j2, …, jn 为 1, 2, …, n, 并注意到 s(1,2,…,n)=1, 有det(B)=1⩽i1,i2,…,in⩽ni1,i2,…,in互不相同∑s(i1,i2,…,in)[B]i1,1[B]i2,2…[B]in,n.我们再完全展开 det(A). 取 j1, j2, …, jn 为 ℓ1, ℓ2, …, ℓn, 有===det(A)s(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)1⩽i1,i2,…,in⩽ni1,i2,…,in互不相同∑s(i1,i2,…,in)[A]i1,ℓ1[A]i2,ℓ2…[A]in,ℓns(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)1⩽i1,i2,…,in⩽ni1,i2,…,in互不相同∑s(i1,i2,…,in)[B]i1,1[B]i2,2…[B]in,ns(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)det(B).注意到 s(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)=±1, 故det(B)=s(ℓ1,ℓ2,…,ℓn)det(A).证毕.