12. 单位阵

在进一步讨论行列式前, 我要介绍一类特别的方阵.

定义 12.1 (-记号)., 是二个文字. 定义

显然, -记号是表示二个文字是否相等的一个量. , 说明 , 是同一个文字; , 说明 , 是不同的二个文字.

定义 12.2 (单位阵). 为正整数. 作  级阵 , 使 , (). 我们说,  级单位阵.

当我们不强调单位阵的尺寸时, 我们可简单地写单位阵为 .

例 12.3.  级单位阵是 , 或 .  级单位阵是  级单位阵是

一般地,  级单位阵含   , 且 恰在行号与列号相等的地方 (也就是说, 恰在行号与列号不等的地方).

写一个  阵为  级单位阵  的列的数乘的和. 具体地, 我们设 是一个  阵, 且设 (也就是说, 设 , , , 的列 , , , ). 记 . 则为证明此式, 我们要用单位阵的定义、加法的定义、数乘的定义 (不难看出, 等式二侧的尺寸都是 ):

至多以一种方式写一个 阵为  级单位阵  的列的数乘的和. 具体地, 设 , , , 的列 , , , . 再设不难算出从而由此可知, .

综上, 我们有

定理 12.4. 可以, 且只能以一种方式写一个  阵为  级单位阵  的列的数乘的和.

例 12.5. 于是, 一方面,

另一方面, 我们设由此可知, , , 一定分别是 , , .

顺便, 您可用完全类似的手法证明

定理 12.6. 可以, 且只能以一种方式写一个  阵为  级单位阵  的行的数乘的和.