13. 行列式的性质

本节, 我们学习行列式的几条重要的性质.

定理 13.1 (规范性). 单位阵的行列式为 $1$.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题$$\begin{array}{r}\det (I_n)=1.\end{array}$$则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

$P(1)$ 显然是正确的. 我就不解释原因了; 您解释它.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的. 我们要证 $P(m)$ 也是正确的; 也就是, $\det (I_m)=1$. 按列 $1$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}& \det (I_m)\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[I_m{]}_{i,1}\det (I_m(i|1))\\ =& (-1{)}^{1+1}\delta (1,1)\det (I_m(1|1))+\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i+1}\delta (i,1)\det (I_m(i|1))\\ =& \det (I_{m-1})+\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i+1}0\det (I_m(i|1))\\ =& \det (I_{m-1})\\ =& 1.\end{array}$$所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

我接下来要讲的二个性质的论证利用了按 (任何) 一列展开行列式的公式. 请允许我引用此公式:

定理 13.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $j$ 为整数, 且 $1⩽j⩽n$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

定理 13.3 (多线性). 行列式 (关于列) 是多线性的. 具体地, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& \det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n]\\ =& s\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n]+t\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n].\end{array}$$(若 $j=1$, 则 $a_1$ 不出现; 若 $j=n$, 则 $a_n$ 不出现. 下同.)

证. 作三个 $n$ 级阵 $A$, $B$, $C$: $A$, $B$, $C$ 的列 $k$ 为 $a_k$ ($k\ne j$); $A$ 的列 $j$ 为 $x$; $B$ 的列 $j$ 为 $y$; $C$ 的列 $j$ 为 $sx+ty$. 那么, $$\begin{array}{rl}& \det (A)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n],\\ & \det (B)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n],\\ & \det (C)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n].\end{array}$$不难发现, 若 $k\ne j$, 则 $[A{]}_{i,k}=[B{]}_{i,k}=[C{]}_{i,k},$ 故 $A(i|j)=B(i|j)=C(i|j).$ 再注意到 $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j},$ 得$$\begin{array}{rl}& \det (C)\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[C{]}_{i,j}\det (C(i|j))\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}(s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j})\det (C(i|j))\\ =& s\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (C(i|j))+t\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (C(i|j))\\ =& s\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j))+t\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (B(i|j))\\ =& s\det (A)+t\det (B).\end{array}$$

证毕.

多线性有一个直白的推广. 具体地, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何 $\ell$ 个 $n\times 1$ 阵 $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_{\ell }$, 任何 $\ell$ 个数 $s_1$, $s_2$, $\dots$, $s_{\ell }$, 有$$\begin{array}{rl}& \det \left[a_1,\dots ,a_{j-1},\sum _{k=1}^{\ell }{s}_k{b}_k,a_{j+1},\dots ,a_n\right]\\ =& \sum _{k=1}^{\ell }{s}_k\det [a_1,\dots ,a_{j-1},b_k,a_{j+1},\dots ,a_n].\end{array}$$您可施数学归纳法于 $\ell$ 以证此事 (注意到 $s_1{b}_1+\cdots +s_{\ell }{b}_{\ell }=(s_1{b}_1+\cdots +s_{\ell -1}{b}_{\ell -1})+s_{\ell }{b}_{\ell }$); 其实, 这就是多次用多线性的结果.

定理 13.4 (交错性). 行列式 (关于列) 是交错性的. 具体地, 若 $n$ 级阵 $A$ 有二列相同, 则 $\det (A)=0$.

有一件事值得提. 明显地, $1$ 级阵不可能有二列相同. 但是, 根据 “若 $p$ 是假的, 则 ‘若 $p$, 则 $q$’ 是真的” 原则, 我们仍认为 $1$ 级阵的行列式有交错性. (“若 $p$, 则 $q$” 相当于 “对适合条件 $p$ 的任何对象 $o$, $o$ 也适合条件 $q$”. 形如 “对任何 A, 必 B” 的话的反面就是 “存在某个 A, 使之非 B”. 所以, 若我们找不到 “非 B” 的 A, 我们应认为, “对任何 A, 必 B” 是对的. 特别地, 当 A 不存在时, 自然没有 “非 B” 的 A. 故, 我们认为, 即使 A 不存在, “对任何 A, 必 B” 是对的.)

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对每一个有相同的二列的 $n$ 级阵 $A$, 其行列式必为 $0$.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

前面解释过, 我们认为, $P(1)$ 是真的.

现在考虑 $P(2)$. 为此, 任取有相同的二列的 $2$ 级阵$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}a& a\\ b& b\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (A)=ab-ba=0.\end{array}$$故 $P(2)$ 是真的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的 (注意, 此处 $m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是正确的. 任取一个有相同的二列的 $m$ 级阵 $A$. 我们设 $A$ 的列 $p$ 等于列 $q$, 其中 $1⩽p<q⩽m$. 在 $1$, $2$, $\dots$, $m$ 这 $m$ 个数里, 我们必定能找到一个数 $j$, 它既不等于 $p$, 也不等于 $q$. 按列 $j$ 展开行列式, 有$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$注意到, $m-1$ 级阵 $A(i|j)$ 仍有相同的二列. 所以, 根据假定, $\det (A(i|j))=0$. 故 $\det (A)=0$.

所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

行列式的一些性质是其多线性与交错性的推论. 比如

定理 13.5 (反称性). 行列式 (关于列) 是反称性的. 具体地, 设 $A$ 是 $n$ 级阵, 设交换 $A$ 的列 $p$ 与列 $q$ 后得到的阵为 $B$ ($p<q$). 则 $\det (B)=-\det (A)$. (通俗地, 交换方阵的二列, 则其行列式变号.)

证. 设 $A=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$. 为方便说话, 我们写$$\begin{array}{r}f(x,y)=\det [a_1,\dots ,a_{p-1},x,a_{p+1},\dots ,a_{q-1},y,a_{q+1},\dots ,a_n].\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}0=& f(a_p+a_q,a_p+a_q)\\ =& f(a_p,a_p+a_q)+f(a_q,a_p+a_q)\\ =& (f(a_p,a_p)+f(a_p,a_q))+(f(a_q,a_p)+f(a_q,a_q))\\ =& f(a_p,a_q)+f(a_q,a_p)\\ =& \det (A)+\det (B).\end{array}$$

证毕.