14. 用行列式的性质确定行列式

本节, 我们研究如何用行列式的一些性质确定行列式.

假定, 您熟悉一些人 (而不只是 “知道他们的存在”). 自然地, 您也知道他们的一些特征. 我从这些人里选一个, 我想, 您可以说出此人的一些特征. 但是, 反过来, 我说出某人的一些特征, 您就一定能确定此人吗? 那自然是不一定的. 不过, 当我给出较多的特征时, 那是有可能的.

抽象地,  级阵的行列式就是一个定义在全体  级阵上的函数. 就像一个人有多种特征那样, 行列式自然也有不少特征 (或者, 性质), 无论是 “有名的” (有名字的), 还是 “无名的”. 值得注意的是, 有些特征并不是行列式特有的: 比如, 零函数 (其中 是任何的  级阵) 适合多线性、交错性、反称性, 恒取 的函数 适合规范性, 但它们都不是行列式. 不过, 若我们联合行列式的几个特征, 则它们可确定行列式.

定理 14.1. 设定义在全体  级阵上的函数 适合:

(1) (多线性) 对任何不超过 的正整数 , 任何   , , , , , , 任何二个  , , 任何二个数 , , 有

(2) (交错性) 若  级阵 有二列完全相同, 则 .

那么, 对任何  级阵 , .

特别地, 若 (规范性), 则 就是行列式.

证. 我们设 . 不难验证, 也有多线性、交错性、反称性 (具体地, 设交换  级阵  的列  与列  后得到的阵为 , 且 , 则 ; 这是前二个性质的推论), 且 . 我们的目标是: 证 是零函数 (即, 恒为零).

任取一个  级阵 . 设  级单位阵的列 , , , 分别是 , , , . 设 的列 , , , 分别是 , , , . 于是(注意, 这里, 我用了  个求和指标 , , , . 等会儿, 您就知道为什么我要这么写了.) 从而, 利用多线性,

利用交错性, 不难看出, 若存在整数 , 使 , 且 , 则 有二列相同, 故 . 所以,

我们用反称性证明每一个 (其中 , , , 是不超过 的正整数, 且互不相同) 都是 . 适当地交换  的列, 可变其为 , 即  级单位阵. 从而

所以 . 故 . (反过来, 不难验证, 若我们定义 , 则 适合多线性与交错性.)

证毕.

定理 14.2. 若定义在全体  级阵上的函数 适合规范性、多线性、交错性, 则 就是 ( 级阵的) 行列式 (函数).

由此, 理论地, 我们可用行列式的这三条性质定义行列式:

定义 14.3. 是定义在全体  级阵上的函数. 若 适合如下三条, 则说 是 ( 级阵的) 一个行列式函数 (自然地, 若  级阵, 则 一个行列式):

(1) (规范性) 若  级单位阵, 则 .

(2) (多线性) 对任何不超过 的正整数 , 任何   , , , , , , 任何二个  , , 任何二个数 , , 有

(3) (交错性) 若  级阵 有二列完全相同, 则 .

不过, 我没有这么干, 因为由这个定义入手, 证明 ( 级阵的) 行列式函数存在且唯一是较难的. (我认为, 我用的定义是较简单的.)