68. 辛阵

设 $2m$ 是一个不低于 $2$ 的偶数. 作 $2m$ 级阵$$\begin{array}{r}{K}_m=\left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right],\end{array}$$其中 $0$ 是 $m$ 级零阵; 具体地,$$\begin{array}{r}[K_m{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[0{]}_{i,j},& \text{i⩽m, j⩽m};\\ [I_m{]}_{i,j-m},& \text{i⩽m, j>m};\\ [-I_m{]}_{i-m,j},& \text{i>m, j⩽m};\\ [0{]}_{i-m,j-m},& \text{i>m, j>m}.\end{array}\end{array}$$更具体地,$$\begin{array}{r}[K_m{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1,& 1⩽i=j-m⩽m;\\ -1,& 1⩽i-m=j⩽m;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$不难算出, $K_m^{\mathrm{T}}=-K_m$, 且 $K_m{K}_m=-I_{2m}$.

按列 $1$ 展开 $\det (K_m)$, 有$$\begin{array}{r}\det (K_m)=(-1{)}^{m+1}(-1)\det (K_m(m+1|1))=(-1{)}^m\det \left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_{m-1}& 0\end{array}\right].\end{array}$$再按行 $1$ 展开 $\det (K_m(m+1|1))$, 有$$\begin{array}{rl}\det (K_m(m+1|1))=& (-1{)}^{1+m-1}1\det (K_m(m+1,1|1,m+1))\\ =& (-1{)}^m\det (K_{m-1}).\end{array}$$则 $\det (K_m)=\det (K_{m-1})$, 当 $m>1$. 不难算出 $\det (K_1)=1$. 则 $\det (K_m)=1$, 对 $m⩾1$.

现在, 我们可定义辛阵 (simplektika matrico) 了.

定义 68.1. 设 $A$ 是一个 $2m$ 级阵. 若 $A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A=K_m$, 则 $A$ 是一个辛阵.

我们可写出辛阵的一些性质.

不难看出, $2m$ 级单位阵 $I_{2m}$ 是一个辛阵. 由 $K_m$ 的性质, 不难验证, $K_m$ 也是一个辛阵.

设 $A$, $B$ 是 $2m$ 级辛阵. 则$$\begin{array}{rl}(AB{)}^{\mathrm{T}}{K}_m(AB)=& (B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}})(K_{m}A)B\\ =& B^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)B\\ =& B^{\mathrm{T}}{K}_{m}B\\ =& K_m.\end{array}$$

因为$$\begin{array}{r}\det (K_m)=\det (A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)=\det (A^{\mathrm{T}})\det (K_m)\det (A)=\det (K_m)(\det (A){)}^2,\end{array}$$且 $\det (K_m)=1$, 故 $(\det (A){)}^2=1$.

若数 $t$ 适合 $t^2=1$, 则$$\begin{array}{r}(tA{)}^{\mathrm{T}}{K}_m(tA)=(t{A}^{\mathrm{T}})K_m(tA)=t^2(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)=1K_m=K_m.\end{array}$$

注意到 $\det (K_{m}A)=\det (K_m)\det (A)\ne 0$, 且$$\begin{array}{rl}((A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}{K}_m{A}^{\mathrm{T}})(K_{m}A)=& (A{K}_m{A}^{\mathrm{T}})(K_{m}A)\\ =& (A{K}_m)(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)\\ =& (A{K}_m)K_m\\ =& A(K_m{K}_m)\\ =& A(-I_{2m})\\ =& (-I_{2m})A\\ =& (K_m{K}_m)A\\ =& K_m(K_{m}A),\end{array}$$故 $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}{K}_m{A}^{\mathrm{T}}=K_m$.

最后, 注意到$$\begin{array}{rl}(\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}{K}_m\mathrm{adj}(A)=& (\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)\mathrm{adj}(A)\\ =& ((\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}})K_m(A\mathrm{adj}(A))\\ =& (A\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}}{K}_m(A\mathrm{adj}(A))\\ =& (\det (A)I_{2m}{)}^{\mathrm{T}}{K}_m(\det (A)I_{2m})\\ =& (\det (A)I_{2m}^{\mathrm{T}})K_m(\det (A)I_{2m})\\ =& (\det (A){)}^2(I_{2m}^{\mathrm{T}}{K}_m{I}_{2m})\\ =& K_m.\end{array}$$

总结这些结果, 我们有

定理 68.2. (1) $I_{2m}$ 与 $K_m$ 是 $2m$ 级辛阵.

(2) $2m$ 级辛阵 $A$ 的行列式的平方为 $1$.

(3) 设 $A$, $B$ 是 $2m$ 级辛阵. 设数 $t$ 适合 $t^2=1$. 则 $AB$, $tA$, $A^{\mathrm{T}}$, $\mathrm{adj}(A)$ 也是辛阵.

本书是关于行列式的. 于是, 一个自然的问题是, 辛阵的行列式是多少. 我们知道, 辛阵的行列式的平方是 $1$, 故辛阵的行列式是 $1$ 或 $-1$. 不过, 不平凡地, 辛阵的行列式必是 $1$. 我们现有的知识无法解决此事. 我会在后面的几节, 介绍更多的知识, 以解决它.

虽然如此, 我们还是能解决 $2m=2$ 的情形. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\end{array}$$是一个 $2$ 级辛阵. 由 $A^{\mathrm{T}}{K}_{1}A=K_1$, 知$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right],\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}0& ad-bc\\ -(ad-bc)& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right].\end{array}$$故 $\det (A)=ad-bc=1$.