69. 反称阵

从本节开始, 我们讨论反称阵与其性质.

定义 69.1. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 若 $[A{]}_{i,i}=0$, 且 $[A{]}_{i,j}+[A{]}_{j,i}=0$, 则 $A$ 是一个反称阵.

例 69.2. 不难看出, $1$ 级反称阵即为 $[0]$, $2$ 级反称阵形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right],\end{array}$$$3$ 级反称阵形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right],\end{array}$$$4$ 级反称阵形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right].\end{array}$$

例 69.3. 不难验证, $2m$ 级阵 $K_m=\left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right]$ 是反称阵.

不难看出, $[A{]}_{i,j}+[A{]}_{j,i}=0$ 相当于 $A^{\mathrm{T}}=-A$: 注意到 $[A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=[A{]}_{j,i}$ 与 $[-A{]}_{i,j}=-[A{]}_{i,j}$. 有时, 这更方便应用.

定理 69.4. 设 $A$, $B$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $k$ 是数. 设 $X$ 是 $n\times m$ 阵.

(1) $n$ 级阵 $0$ 是反称阵.

(2) $A+B$ 是反称阵.

(3) $kA$ 是反称阵; 特别地, $(-1)A=-A=A^{\mathrm{T}}$ 也是反称阵.

(4) $X^{\mathrm{T}}AX$ 是反称阵.

证. (1) $0^{\mathrm{T}}=0=-0$, 且 $[0{]}_{i,i}=0$.

(2) 由转置的性质, $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}=(-A)+(-B)=-(A+B)$. 再注意到$$\begin{array}{r}[A+B{]}_{i,i}=[A{]}_{i,i}+[B{]}_{i,i}=0+0=0.\end{array}$$

(3) 由转置的性质, $(kA{)}^{\mathrm{T}}=k{A}^{\mathrm{T}}=k(-A)=-(kA)$. 再注意到$$\begin{array}{r}[kA{]}_{i,i}=k[A{]}_{i,i}=k0=0.\end{array}$$

(4) $X$ 是 $n\times m$ 的, 则 $AX$ 是 $n\times m$ 的; $X^{\mathrm{T}}$ 是 $m\times n$ 的, 则 $X^{\mathrm{T}}AX$ 是 $m\times m$ 的. 由转置的性质, $$\begin{array}{r}(X^{\mathrm{T}}AX{)}^{\mathrm{T}}=X^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}(X^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=X^{\mathrm{T}}(-A)X=-(X^{\mathrm{T}}AX).\end{array}$$由阵的积的定义, $$\begin{array}{rl}& [X^{\mathrm{T}}AX{]}_{i,i}\\ =& [X^{\mathrm{T}}(AX){]}_{i,i}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[X^{\mathrm{T}}{]}_{i,\ell }[AX{]}_{\ell ,i}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[X{]}_{\ell ,i}[AX{]}_{\ell ,i}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[X{]}_{\ell ,i}\left(\sum _{k=1}^n[A{]}_{\ell ,k}[X{]}_{k,i}\right)\\ =& \sum _{\ell =1}^n\sum _{k=1}^n[X{]}_{\ell ,i}[A{]}_{\ell ,k}[X{]}_{k,i}\\ =& \sum _{\ell ,k=1}^n[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}[A{]}_{\ell ,k}\\ =& \sum _{1⩽\ell =k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}[A{]}_{\ell ,k}+\sum _{1⩽\ell <k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}[A{]}_{\ell ,k}\\ & +\sum _{1⩽k<\ell ⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}[A{]}_{\ell ,k}\\ =& \sum _{1⩽\ell =k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}0+\sum _{1⩽\ell <k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}[A{]}_{\ell ,k}\\ & +\sum _{1⩽\ell <k⩽n}[X{]}_{k,i}[X{]}_{\ell ,i}[A{]}_{k,\ell }\\ =& 0+\sum _{1⩽\ell <k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}([A{]}_{\ell ,k}+[A{]}_{k,\ell })\\ =& \sum _{1⩽\ell <k⩽n}[X{]}_{\ell ,i}[X{]}_{k,i}0\\ =& 0.\end{array}$$于是, $X^{\mathrm{T}}AX$ 是一个 $m$ 级反称阵.

证毕.