67. 转置的性质

本节, 我们讨论转置的一些性质.

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 则 $A$ 的转置 $A^{\mathrm{T}}$ 是一个 $n\times m$ 阵, 且对 $i⩽n$ 与 $j⩽m$, 有 $[A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=[A{]}_{j,i}$.

我们已知, 若 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵, 则 $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A$. 我们还知道, 若 $A$ 是一个 $n$ 级阵, 则 $\det (A)=\det (A^{\mathrm{T}})$.

转置当然还有一些性质; 我只是还没提到它们.

定理 67.1. 设 $A$, $B$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $C$ 是 $n\times s$ 阵. 设 $k$ 是数. 则:

(1) $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$;

(2) $(kA{)}^{\mathrm{T}}=k{A}^{\mathrm{T}}$;

(3) $(AC{)}^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$.

证. 您验证, 等式 (1) 与 (2) 的二侧的阵的尺寸是一样的; 我验证, 等式 (3) 的二侧的阵的尺寸是一样的.

(1) 对 $i⩽n$ 与 $j⩽m$, $$\begin{array}{rl}[(A+B{)}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=& [A+B{]}_{j,i}\\ =& [A{]}_{j,i}+[B{]}_{j,i}\\ =& [A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}+[B^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}\\ =& [A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}.\end{array}$$

(2) 对 $i⩽n$ 与 $j⩽m$, $$\begin{array}{rl}[(kA{)}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=& [kA{]}_{j,i}\\ =& k[A{]}_{j,i}\\ =& k[A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}\\ =& [k{A}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}.\end{array}$$

(3) $A$ 是 $m\times n$ 的, $C$ 是 $n\times s$ 的, 故 $AC$ 是 $m\times s$ 的, 故 $(AC{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $s\times m$ 的. 另一方面, $C^{\mathrm{T}}$ 是 $s\times n$ 的, $A^{\mathrm{T}}$ 是 $n\times m$ 的, 故 $C^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $s\times m$ 的. 对 $i⩽s$ 与 $j⩽m$, $$\begin{array}{rl}[(AC{)}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=& [AC{]}_{j,i}\\ =& \sum _{p=1}^n[A{]}_{j,p}[C{]}_{p,i}\\ =& \sum _{p=1}^n[A^{\mathrm{T}}{]}_{p,j}[C^{\mathrm{T}}{]}_{i,p}\\ =& \sum _{p=1}^n[C^{\mathrm{T}}{]}_{i,p}[A^{\mathrm{T}}{]}_{p,j}\\ =& [C^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}.\end{array}$$

证毕.

为方便, 我记下一个简单的推广. 设 $A$, $B$, $C$ 分别是 $m\times s$, $s\times t$, $t\times n$ 阵. 则$$\begin{array}{rl}(ABC{)}^{\mathrm{T}}=& ((AB)C{)}^{\mathrm{T}}\\ =& C^{\mathrm{T}}(AB{)}^{\mathrm{T}}\\ =& C^{\mathrm{T}}(B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}})\\ =& C^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}.\end{array}$$一般地, 我们有

定理 67.2. 设 $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ 分别是 $m_0\times m_1$, $m_1\times m_2$, $\dots$, $m_{n-1}\times m_n$ 阵 (也就是, $A_k$ 的列数等于 $A_{k+1}$ 的行数, $k=1$, $2$, $\dots$, $n-1$). 则$$\begin{array}{r}(A_1{A}_2\dots A_n{)}^{\mathrm{T}}=A_n^{\mathrm{T}}\dots A_2^{\mathrm{T}}{A}_1^{\mathrm{T}}.\end{array}$$

证. 请允许我留此事为您的习题. 您用数学归纳法即可.

证毕.