41. 我要如何定义行列式?

行列式是什么? 我认为, 就像迹那样 (注: $n$ 级阵 $A$ 的迹是 $[A{]}_{1,1}+[A{]}_{2,2}+\cdots +[A{]}_{n,n}$), 行列式也只是方阵一个属性而已. 不过, 这个看法可能是不全面的; 毕竟, 这可能会使人认为, “行列式就是个 ‘新定义运算’ 而已”. 行列式是有用的; 至少, 不说线性代数, 它在微积分与几何里, 也是有用的.

出于多的原因, 我决定, 写一本行列式的入门教材. 既然是入门教材, 它自然要简单. 我能想到至少三个 (有大的差别的) 定义方式:

定义 41.1 (归纳定义). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 定义 $A$ 的行列式$$\begin{array}{r}\det (A)=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)),& n⩾2.\end{array}\end{array}$$

定义 41.2 (组合定义). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 定义 $A$ 的行列式$$\begin{array}{rl}\det (A)=& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)[A{]}_{i_1,1}[A{]}_{i_2,2}\dots [A{]}_{i_n,n},\end{array}$$其中$$\begin{array}{r}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)=\prod _{1⩽p<q⩽n}\mathrm{sgn}(i_q-i_p)\end{array}$$是文字列 (或者, “排列”, 因为这里的 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 是互不相同的) $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 的符号.

定义 41.3 (公理定义). 设 $f$ 是定义在全体 $n$ 级阵上的函数. 若 $f$ 适合如下三条, 则说 $f$ 是 ($n$ 级阵的) 一个行列式函数 (自然地, 若 $A$ 是 $n$ 级阵, 则 $f(A)$ 是 $A$ 的一个行列式):

(1) (规范性) 若 $I$ 是 $n$ 级单位阵, 则 $f(I)=1$.

(2) (多线性) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& f([a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n])\\ =& sf([a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n])+tf([a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n]).\end{array}$$

(3) (交错性) 若 $n$ 级阵 $A$ 有二列相同, 则 $f(A)=0$.

值得注意的是, 这里的定义是关于列的. 我们知道, 一个阵的行列式等于其转置的行列式, 故阵的行与阵的列在行列式里的地位是一样的, 进而我们也可用关于行的版本定义行列式. 这, 我认为, 只是个人的喜好而已. 毕竟, 行或列不是本质的. 规范性、多线性、交错性是本质.

大体地, 我想到的三个定义, 对初学行列式的人, 都是有一些挑战的, 因为它们都涉及了 “非高中数学内容”. 归纳定义不好, 因为学生不一定熟悉数学归纳法. 当我是高中生时, 数学归纳法至少是必学的; 可是, 过了几年, 新教材里的数学归纳法是选学内容, 且新高考也不再考它. 组合定义不好, 因为学生不一定熟悉 (比数学归纳法抽象的) 排列或置换. 并且, 在一些线性代数教材里, 排列或置换的理论似乎只为行列式所用. 公理定义不好, 因为它是抽象的. 这要一些准备. 据说, 老的中学数学有 “$2$ 级行列式” “$3$ 级行列式” (即, $2$ 级阵的行列式与 $3$ 级阵的行列式); 可是, 我是高中生时, (必学的) 教材没有了行列式; (必学的) 新教材也没有行列式. 我认为, 这么讲行列式, 会使更多的初学者不解 (若学生没有什么准备知识).

虽然这三个定义都对初学者有一些挑战, 我还是选了归纳定义; 毕竟, 我想, 数学归纳法应是每一个 (学数学的) 人都了解的 (基础的) 原理.

于是, 我开始写本书的第一章.