42. 我要讲阵吗?

理论地, 我可不用阵讲行列式. 具体地, 我可以这么定义行列式.

定义 42.1. 我们叫下面用二条竖线围起来的由 $n$ 行 $n$ 列元作成的式为一个 $\mathbf{n}$ 级行列式: $$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right|.$$(42.1)它由 $n$ 行 $n$ 列, 共 $n^2$ 个元作成. 我们叫行 $i$ 的 $n$ 个元 $a_{i,1}$, $a_{i,2}$, $\dots$, $a_{i,n}$ 为行列式 $D$ 的行 $i$, 叫列 $j$ 的 $n$ 个元 $a_{1,j}$, $a_{2,j}$, $\dots$, $a_{n,j}$ 为行列式 $D$ 的列 $j$. 我们叫行 $i$, 列 $j$ 交点上的元 $a_{i,j}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$-元.

我们定义 $a_{i,j}$ 的余子式 $M_{i,j}$ 为由行列式 $D$ 中去除行 $i$ 列 $j$ 后剩下的 $n-1$ 行与 $n-1$ 列元作成的行列式: $$\begin{array}{r}{M}_{i,j}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right|.\end{array}$$

当 $n=1$ 时, 定义式 (42.1) 为$$D=a_{1,1}.$$(42.2)当 $n⩾2$ 时, 归纳地定义式 (42.1) 为$$\begin{array}{rl}D=& a_{1,1}{M}_{1,1}-a_{2,1}{M}_{2,1}+\cdots +(-1{)}^{n+1}{a}_{n,1}{M}_{n,1}\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{a}_{i,1}{M}_{i,1}.\end{array}$$(42.3)

可以看到, 在这个定义里, “行列式” 至少有二个意思: 一是形如式 (42.1) 的方形数表的式, 二是由式 (42.2), (42.3) 定义的一个数. 既然式 (42.1) 只是一个式, 又因为二个式相等是指它们的结果相等, 故, 有不一样的元的二个 $n$ 级行列式可能相等.

我如何定义行列式? 我先定义阵 (矩形数表), 再定义方阵 (方形数表) 的行列式是施某规则于方阵得到的数. (具体地, 您看第一章, 节 5, 6 即知.)

由此可见, 这个定义跟第一章的定义, 在思想上, 是有一些区别的. 我用的定义视行列式为方阵的一个属性, 而这个定义, 是一个 “形如式 (42.1) 的方形数表的式”, 或 “由式 (42.2), (42.3) 确定的数”.

历史地, 行列式比阵早出现. 所以, 这个不涉及阵的定义, 是古典的. 逻辑地, 它没有什么问题. 不过, 教学地, 一些学生区分行列式与阵是有挑战的. 毕竟, 二者长得差不多, 且阵 (的运算) 与行列式对线性代数的初学者都是有一些挑战的.

我想到的解决此问题的方法就是先讲阵 (至少, 先讲阵的记号), 再讲行列式. 这样, 初学者更能体会, 行列式是方阵的一个属性. 至少, 我不想在入门课给学生多的挑战.

类似地, 历史地, 对数比指数早出现. 可是, 我们在高中学数学时, 也并没有先讲对数, 再讲指数. 相反, 教材用指数讲对数.

最后, 我以一个形象的例结束本节.

我在前面说过, $n$ 级阵 $A$ 的迹是 $[A{]}_{1,1}+[A{]}_{2,2}+\cdots +[A{]}_{n,n}$. 能否不用阵定义迹? 我想, 理论地, 当然可以. 我试作了一个定义. 您看它如何.

定义 42.2. 我们叫下面用括号 $\{\}$ (注意, 这只是我自己选的一个记号) 围起来的由 $n$ 行 $n$ 列元作成的式为一个 $\mathbf{n}$ 级迹: $$T=\left\{\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right\}.$$(42.4)它由 $n$ 行 $n$ 列, 共 $n^2$ 个元作成. 我们叫行 $i$ 的 $n$ 个元 $a_{i,1}$, $a_{i,2}$, $\dots$, $a_{i,n}$ 为迹 $T$ 的行 $i$, 叫列 $j$ 的 $n$ 个元 $a_{1,j}$, $a_{2,j}$, $\dots$, $a_{n,j}$ 为迹 $T$ 的列 $j$. 我们叫行 $i$, 列 $j$ 交点上的元 $a_{i,j}$ 为迹 $T$ 的 $(i,j)$-元.

我们定义式 (42.4) 为$$\begin{array}{r}T=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n}.\end{array}$$

这是一个个人喜好问题. 不同的人, 会有不同的想法.