40. 结合律、交换律、分配律
本节, 我想讨论结合律、交换律、分配律.
我们知道, 数的加法适合结合律与交换律; 数的乘法也适合结合律与交换律; 并且, 乘法与加法适合分配律. 具体地, 我们设 , , 是 (任何的) 三个数. 那么, 加法的结合律就是 ; 乘法的结合律就是 ; 加法的交换律就是 ; 乘法的交换律就是 ; 分配律是 与 , 其中, 形如 的文字应被理解为 (我们通常先算乘法, 再算加法).
这些运算律看上去抽象, 但我们一直在用它们作计算.
例 40.1. 在小学, 我们学过乘法表. 利用乘法表与数的运算律, 我们可以作二个数的乘法. 比如, 其实, 我还是略了几步; 完整地写出计算过程过于复杂了.
在小学, 我们就知道, 因为加法 (乘法) 适合结合律与交换律, 故当我们求若干个数的和 (积) 时, 我们可随意地交换这些数的次序, 且可以任何方式作加法 (乘法). 比如,不过, 小学教材没有证明此事; 初中教材似乎也没有证明此事; 高中教材似乎也没有证明此事. 所以, 此事的论证, 留给了其他人.
现在, 我接受这个挑战. 不过, 为了方便说话, 我要一些新的概念.
定义 40.2. 设 , 是二个文字. 我们叫形如 的文字为有序对.
再设 , 也是二个文字. 说二个有序对 , 相等, 就是说, 且 .
定义 40.3. 集是具有某个特定性质的对象作成的一个整体. 我们叫它的对象为元.
无元的集是空集. 自然地, 至少含一个元的集, 是非空的.
若 是集 的元, 则写 或 , 说 属于 或 包含 . 若 不是集 的元, 则写 或 , 说 不属于 或 不包含 .
一般地, 若集 由元 , , , 作成, 我们写还有一个记号. 设集 是由具有某个性质 的对象作成. 我们写
例 40.4. 当我们视所有的整数为一个整体时, 这个整体, 就是整数集. 习惯地, 我们表之以 .
我们常记由全体非负整数 (自然数) 作成的集为 . 那么, 我们可写不难看出, , 但 .
我们可写我们也可写
定义 40.5. 设 , 是二个非空的集. 定义
例 40.6. 设 , . 那么, 不过, 可以看到, 虽然 与 的元的数目是相同的, 但二者的元是不一样的.
抽象地看, 的 , 其实是一个对应法则: 变一个有序对 为某一个唯一确定的数 ; 这个数, 可被表示为 . 类似地, 变一个有序对 为某一个唯一确定的数 ; 这个数, 可被表示为 ; 甚至, 特别地, 它也可被表示为 .
定义 40.7. 设 是一个非空的集. 设对应法则 适合: 任取 的一个有序对 , 必存在 里的唯一的一个元 , 使在对应法则 下, 跟 对应 (也就是: (a) 任取 的二元 , (不必互不相同), 存在 的元 , 使在对应法则 下, 跟 对应; (b) 若在对应法则 下, 跟 对应, 且 跟 对应, 则 ). 那么, 我们说, 是 的一个二元运算.
设在对应法则 下, 跟 对应. 我们表此事以 .
例 40.8. 加法与乘法都是 的二元运算: 二个给定的非负整数 , 的和 (或积) 是被唯一确定的非负整数 (或 ). 不过, 减法不是: 二个非负整数的差不一定是非负整数.
但是, 减法是 的二元运算. 当然, 加法与乘法也是.
设 为非空的集. 设 是 的一个二元运算. 文字 是否有意义? 显然, 我们并没有定义它的含义; 毕竟, 二元运算每次只对二个元作运算. 但是, 我们总可以先挑二个元作运算, 然后再作一次运算. 比如, 先施 于 , , 可得 ; 先施 于 , , 可得 . 二者不一定相同; 毕竟, 二元运算是相当自由的.
例 40.9.
不过, 当然, 也有 总等于 的情形.
定义 40.10. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 若对 的任何三元 , , (不一定是互不相同的, 下同), 必有我们说, 适合结合律.
通俗地, 结合律说, 若非空的集 的二元运算 适合结合律, , , 为 的任何三元, 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的. 所以, 是有意义的.
我们看结合律有什么用.
设 是非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 适合结合律. 设 , , , 是 的 个元. 考虑文字 . 显然, 它并没有什么含义 (二元运算每次只对二个元作运算). 不过, 我们总可以二个二个地作运算. 具体地, 我们有如下 个结合 (加括号) 方式:不难用结合律验证, , , , 都等于 :所以, 通俗地, 若非空的集 的二元运算 适合结合律, , , , 为 的任何 元, 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的.
我们有理由认为, 改 , 为任何高于 的整数, 此事仍成立. 为证明它, 我们引入一个小的记号.
定义 40.11. 设 是 的一个二元运算. 设 , , , 是 的 个元. 定义由此可见, 就是从前向后地, 二个二个地施 于 , , , 得到的结果.
为方便, 我们说, 施 于 的一个元 的结果就是 自己.
现在我们证明一件重要的事.
定理 40.12. 设非空的集 的二元运算 适合结合律, , , , 为 的任何 元. 则无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 其结果都是相等的.
证. 注意到, 有限多个元, 只有有限多个加括号的方式. 设 , , , 有 个加括号的方式 (比如, , , ). 设以第 个加括号的方式算出的结果为 . 我们证明: 它们都等于 (值得注意的是, 这也是一个加括号的方式, 故它必跟 , , , 中的一个有相同的计算式). 具体地, 设命题 为
任取 的 元 , , , , 无论如何加括号 (但不改元的前后次序), 施 于此 元的结果都等于 .
对任何不超过 的正整数 , 是正确的.
取 . 显然, 是正确的.
现在, 我们假定, 是正确的. 我们要证, 也是正确的.
因为 是正确的, 故 , , , 都是正确的. 所以, 若我们能由此证明 是正确的, 则 是正确的.
任取 的 元 , , , . 任取一个 . 注意到, 无论如何加括号作计算, 最后的那一步总是二个元的计算 (可回想 个元时的情形). 我们设 , 其中 是结合 , , , 的前 个元的结果, 而 是结合 , , , 的后 个元的结果. 注意到 , 都低于 , 也都不低于 (因为 ), 故, 由假定, 若 , 那么 就是 自己. 故若 , 则所以, 是正确的.
证毕.
设 是非空的集 的一个适合结合律的二元运算. 设 , , , 为 的任何 元. 以后, 我们简单地写为当然, 因为结合律, 我们也可表任何一个加括号的方式以上式.
设 为非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 , . 自然地, 与 都有意义. 因为二元运算是相当自由的, 故二者不一定相等.
例 40.13.
不过, 当然, 也有 总等于 的情形.
定义 40.14. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 若对 的任何二元 , , 必有我们说, 适合交换律.
现在, 我们证明前面提到的重要事实: 当我们求若干个数的和 (积) 时, 我们可随意地交换这些数的次序, 且可以任何方式作加法 (乘法).
定理 40.15. 设非空的集 的二元运算 适合结合律与交换律, , , , 为 的任何 元. 则无论如何加括号与交换元的前后次序, 其结果都是相等的.
证. 设命题 为
任取 的 元 , , , , 无论如何加括号与交换元的前后次序, 施 于此 元的结果都等于 .
是对的, 因为没法换.
是对的, 因为交换律.
现在, 我们假定, 是正确的. 我们要证, 也是正确的.
任取 的 元 , , , . 设 , , , 是不超过 的正整数, 且互不相同. 因为结合律, 故, 无论如何加括号, 施 于 , , , 的结果都等于 . 我们证它等于 即可.
若 , 则 , , , 是不超过 的正整数, 且互不相同. 故
证毕.
值得注意的是, 只有交换律而没有结合律的二元运算是没有这个好性质的.
例 40.16. 定义 上的二元运算 . 不难验证, 适合交换律. 我们取 , , , 为 , , , . 于是, 不难发现, 不适合结合律:
最后, 我们看分配律.
定义 40.17. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 也是 的一个二元运算.
若对 的任何三元 , , , 必有我们说, 与 适合左分配律.
若对 的任何三元 , , , 必有我们说, 与 适合右分配律.
若 与 既适合左分配律, 也适合右分配律, 我们说, 与 适合分配律.
若 适合结合律, 我们可得到如下三个结果.
定理 40.18. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 是 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 与 适合左分配律. 则对 的任何 元 , , , ,
证. 设命题 为
任取 的 元 , , , , ,
是对的 (显然).
是对的, 因为左分配律.
现在, 我们假定, 是正确的. 我们要证, 也是正确的.
证毕.
您可用完全类似的方法, 证明如下二个事实. 我就不证了.
定理 40.19. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 是 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 与 适合右分配律. 则对 的任何 元 , , , ,
定理 40.20. 设 是一个非空的集. 设 是 的一个二元运算. 设 是 的一个二元运算, 且适合结合律. 再设 与 适合分配律. 则对 的任何 元 , , , ,