1.7. 范畴论入门 (*)

1.7.1范畴的定义
1.7.2函子
1.7.3范畴里的一些构造
1.7.4自然变换和范畴等价
1.7.5极限和余极限
1.7.6阿贝尔范畴: 从线性代数到无穷范畴

1.7.1范畴的定义

定义 1.7.1.1 (范畴). 一个范畴 (category) $C$ 包括下列数据:

•	一个聚合 (读者可以暂且将这里的 “聚合” 理解为 “集合”) ¹, 其中的元素称为 $C$ 的物件或对象 (object), 这一聚合记作 $ob (C)$ . 若 $X \in ob (C)$ , 我们也经常简记为 $X : C$ 或 $X \in C$ ;
•	对任意一对物件 $X, Y \in ob (C)$ , 都有一个聚合 $Hom_{C} (X, Y)$ , 其中的元素称为 $X$ 到 $Y$ 的态射 (morphism). 当不引起混淆时, 我们也略去 $C$ , 直接记作 $Hom (X, Y)$ . 如果 $f \in Hom_{C} (X, Y)$ , 我们也将其记作 $f : X \to Y$ ;
•	对于任意两个态射的聚合 $Hom_{C} (X, Y)$ 和 $Hom_{C} (Y, Z)$ , 都有一个二元运算 $\circ : Hom_{C} (Y, Z) \times Hom_{C} (X, Y) \to Hom_{C} (X, Z)$ , 称为态射的复合 (composition). 也就是说, 对任何 $g : Y \to Z$ 和 $f : X \to Y$ , 我们都有其复合 $g \circ f$ ;
•	对于任何 $X : C$ , 都有一态射 $id_{X} ： X \to X$ (或记为 $1_{X}$ ) , 称之为 $X$ 的单位态射 (identity morphism);

并且满足下列条件:

•	态射复合满足结合律, 也即: 只要当两边都良定义时, 我们总有 $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ ;
•	对于任意 $X, Y : C$ , $f : X \to Y$ , 我们都有 $1_{Y} \circ f = f \circ 1_{X} = f$ .

从一个物件到自己本身的态射, 称为自态射 (endomorphism).

接下来的定义读者不必过于在意, 但出于一些我们这里不会深入探究的细节的考虑, 仍然十分必要:

定义 1.7.1.2 (范畴的大小). 设 $C$ 为一范畴. 若 $ob (C)$ 和 $C$ 里的所有态射构成的聚合都是集合, 则称 $C$ 是小 (small) 的, 反之则称其是大 (large) 的. 如果对于每对 $X, Y : C$ , $Hom_{C} (X, Y)$ 都是集合, 则称 $C$ 是局部小 (locally small) 的.

例 1.7.1.3 (集合范畴). 所有集合构成一个范畴, 我们记为 $Set$ . 其物件是全体集合 ², 态射是集合间的函数, 态射复合就是一般的函数复合, 而单位态射就是恒等函数 $id = x \mapsto x$ . 集合范畴是大的, 但局部小.

例 1.7.1.4 (环范畴). 所有环构成一个范畴, 我们记为 $Ring$ . 其物件是全体环, 态射是环同态, 态射复合是函数复合, 而单位态射一样是恒等函数. 所有交换环也构成一个范畴, 记为 $CRing$ , 其定义类似. 环范畴也是大的, 但一样局部小. 事实上, 我们接下来研究的范畴几乎都是局部小的.

例 1.7.1.5 (模范畴). 给定一个环 $R$ , 所有 $R$ 上的左模构成一个范畴, 记为 $Mod_{R}$ (或 $R - Mod$ ) . 其物件是全体左 $R$ -模, 态射是 $R$ -线性映射, 态射复合和单位态射一样分别是函数复合和恒等函数. 特别地, 给定一个域 $k$ , 所有 $k$ 上的线性空间构成一个范畴, 记为 $Vect_{k}$ .

例 1.7.1.6 (一个态射不是函数的范畴). 我们可以定义一个范畴如下:

•	其物件是全体集合;
•	对于任两个集合 $X$ 和 $Y$ , $Hom (X, Y)$ 是全体 $X$ 和 $Y$ 之间的二元关系;
•	定义复合如下: 对于任意集合 $X, Y, Z$ , 设 $R$ 是 $X, Y$ 间的二元关系, $S$ 是 $Y, Z$ 间的二元关系, 那么我们定义 $S \circ R$ 为这一二元关系: 对任意 $x \in X$ , $z \in Z$ , $x (S \circ R) z$ 当且仅当存在一 $y \in Y$ , 使得 $x R y$ 且 $y S z$ ;
•	单位态射是恒等关系 (和恒等函数相同) .

可以验证这是一个范畴, 我们一般称之为关系范畴 (category of relations) , 记作 $Rel$ . 我们注意到, 在这个范畴里, 态射并不是函数! 实际上, 不仅态射可以不是函数, 物件也可以不是 (我们通常意义上的) 集合. 另外, 这个范畴不是局部小的, 也是我们这里唯一一个不是局部小的范畴的例子.

例 1.7.1.7 (一个奇怪的范畴). 令 $M$ 为一幺半群 (monoid) , 即装备了一个满足结合律且带单位元 $1 \in M$ 的二元运算 $\cdot$ 的集合. 我们可以把 $M$ 看成这样一个范畴:

•	$M$ 只有一个物件;
•	该物件到自己的态射即是 $M$ 的 (作为集合的) 全体成员;
•	态射复合由 $M$ 上的二元运算 (乘法) 给出;
•	结合律和单位律分别由 $\cdot$ 的性质保证.

例 1.7.1.8 (相反范畴). 设 $C$ 是任一范畴. 我们可以构造一个范畴 $D$ 如下:

•	该范畴的物件跟 $C$ 一样;
•	该范畴的态射都是 $C$ 中的范畴的倒置, 即我们定义 $Hom_{D} (X, Y) = Hom_{C} (Y, X)$ ;
•	态射的复合也由 $C$ 中的态射复合给出 (即复合后再倒置) ;
•	单位态射和 $C$ 中的一样.

结合律和单位律都不难验证. 我们将这个范畴称为 $C$ 的 相反范畴 (opposite category) 或是 对偶范畴 (dual category), 记作 $C^{op}$ .

定义 1.7.1.9 (同构). 设 $C$ 为一范畴, 并给定物件 $X, Y : C$ 和态射 $f : X \to Y$ . 如果存在一个态射 $g : Y \to X$ 使得 $g \circ f = 1_{X}$ , $f \circ g = 1_{Y}$ , 则称 $f$ 为一同构 (isomorphism) . 满足此条件的 $g$ , 我们一般记作 $f^{- 1}$ , 称为 $f$ 的逆态射 (inverse morphism), 或简称逆 (inverse).

如果物件 $X$ 和 $Y$ 之间有一同构, 我们也称 $X$ 和 $Y$ 同构, 又记作 $X ≅ Y$ .

例 1.7.1.10. 在 $Set$ 中, 同构即是双射函数. 在 $Ring$ 和 $CRing$ 中, 同构即是环同构. 在 $Mod_{R}$ 中, 同构即是 $R$ -模同构. 如果把幺半群看作范畴, 那么所有具有逆元的元素都是同构; 特别地, 如果把群 (即所有元素都有逆元的幺半群) 看作范畴, 那么所有元素都是同构.

定义 1.7.1.11 (群胚). 所有态射都是同构的范畴称为群胚 (groupoid) . 在一些较老的资料中, 也被翻译为广群.

例 1.7.1.12. 群是只有一个对象的群胚.

定义 1.7.1.13 (单态射). 设 $C$ 为一范畴, 并给定物件 $X, Y : C$ 和态射 $f : X \to Y$ . 我们称 $f$ 为单态射 (monomorphism), 当且仅当对于任何物件 $Z : C$ 和态射 $g, h : Z \to X$ , 只要 $f \circ g = f \circ h$ 时, 都有 $g = h$ . 我们也经常用下面的交换图 (commutative diagram) 表示这一情形: $Z X Y . g h f$

如果 $f : X \to Y$ 是单态射, 那么我们也记为 $f : X ↪ Y$ .

定义 1.7.1.14 (满态射). 设 $C$ 为一范畴, 并给定物件 $X, Y : C$ 和态射 $f : X \to Y$ . 我们称 $f$ 为满态射 (epimorphism), 当且仅当对于任何物件 $Z : C$ 和态射 $g, h : Y \to Z$ , 只要 $g \circ f = h \circ f$ 时, 都有 $g = h$ . 我们也经常用下面的交换图表示这一情形: $X Y Z f g h$

如果 $f : X \to Y$ 是满态射, 那么我们也记为 $f : X ↠ Y$ .

可见, 只要将单态射中所有箭头调转, 便得到一个满态射, 反之亦然. 换言之, 单态射在相反范畴里是满态射, 而满态射在相反范畴里是单态射. 我们称单态射和满态射是互相对偶 (dual) 的概念: 因为只要取对偶范畴就可以将一个概念转化为另一个.

例 1.7.1.15. 在 $Set$ 里, 单态射就是单射函数, 满态射就是满射函数. 而在 $Mod_{R}$ 里, 同样, 单态射就是 (作为函数) 单射的 $R$ -线性映射, 满态射就是满射的 $R$ -线性映射.

例 1.7.1.16 (一个重要的反例). 在 $Ring$ 中, 单态射是单射的环同态, 但满态射并不是满射的环同态! 例如, 从 $Z$ 到 $Q$ 的包含同态 (即将整数映射到看作有理数的其本身的群同态) 是满态射, 但显然不是满射.

实际上, $Ring$ 和 $CRing$ 里的满态射十分复杂, 没有简单的描述. 刻画 $CRing$ 里的满态射是代数几何里的一个重要问题, 需要较多的前置知识, 在此我们自然也无法多加说明.

从上面的例子我们还可以看出: 一个态射即使既单又满, 也并不一定是同构! 虽然我们知道这在 $Set$ 和 $Mod_{R}$ 中成立, 但刚才的例子已经说明这一点在 $Ring$ 里不成立 (因为刚才举例的环同态显然是单的) . 不过, 其逆命题是成立的.

命题 1.7.1.17. 同构一定是单态射, 也一定是满态射.

证明. 留做练习 (提示: 两边同时复合

f^{- 1}

即可).

$□$

如果自态射是同构, 则称为自同构 (automorphism).

1.7.2函子

定义 1.7.2.1 (函子). 设 $C, D$ 都是范畴. 一个 $C$ 到 $D$ 的 (协变) 函子 ((covariant) functor) $F$ 是一个包含下列数据的结构:

•	一个 $ob (C)$ 到 $ob (D)$ 的对应 (或理解为映射) , 对应于 $X : C$ 的物件我们记为 $F (X)$ ;
•	对任何 $X, Y : C$ , 我们有一个从 $Hom_{C} (X, Y)$ 到 $Hom_{D} (F (X), F (Y))$ 的对应. 对应于 $f : X \to Y$ 的态射记为 $F (f)$ ;

并且满足下列条件:

•	对任何 $X : C$ , 都有 $F (1_{X}) = 1_{F (X)}$ ;
•	对任何 $X, Y, Z : C$ 和态射 $f : X \to Y$ 、 $g : Y \to Z$ , 都有 $F (g \circ f) = F (g) \circ F (f)$ .

$F$ 是 $C$ 到 $D$ 的函子, 记为 $F : C \to D$ .

此外, 我们还可以定义一种 “倒转” 态射的函子, 即把 $X$ 到 $Y$ 的态射对应到 $F (Y)$ 到 $F (X)$ 的态射, 其它条件均类似, 留给读者自行修改. 这样的函子称为反变函子 (contravariant functor) . 反变函子也可以看作从 $C^{op}$ 出发的协变函子, 因此我们一般把 “ $F$ 是 $C$ 到 $D$ 的反变函子” 记为 $F : C^{op} \to D$ .

例 1.7.2.2 (遗忘函子). 我们前面提到的代数结构的范畴 ( $Ring$ , $CRing$ , $Mod_{R}$ ) 都有一个到 $Set$ 的十分简单的函子: 把任何环 $R$ (或模 $M$ ) 都映到该环或模所对应的集合, 而把任何同态都映到该同态所对应的函数. 可见这个函子只是 “遗忘” 掉了所有代数结构, 把代数结构变成了纯粹的集合, 因此一般叫做遗忘函子 (forgetful functor) .

例 1.7.2.3 (Hom-函子). 设 $C$ 为一局部小范畴. 任意选定一个 $A : C$ , 我们可以如下定义一个从 $C$ 到 $Set$ 的函子:

•	物件 $X : C$ 映到集合 $Hom_{C} (A, X)$ ;
•	态射 $f : X \to Y$ 映到一个函数, 记为 $Hom (A, f) : Hom (A, X) \to Hom (A, Y)$ , 如此定义: $Hom (A, f) (g) = f \circ g$ .

这个函子称为协变 Hom-函子 (covariant hom-functor), 一般记为 $Hom (A, -)$ .

进一步, 我们也可以选定一个 $B : C$ , 定义一个将 $X$ 映到 $Hom_{C} (X, B)$ 的反变函子 $C^{op} \to Set$ , 其具体定义留给读者. 这个函子称为反变 Hom-函子 (contraviariant hom-functor), 记为 $Hom (-, B)$ .

Hom-函子在范畴论中有着十分重要的地位.

命题 1.7.2.4. 设 $R, S$ 是环, $φ : R \to S$ 是一环同态, 则 $φ$ 诱导一函子 $Φ : Mod_{S} \to Mod_{R}$ .

从一个范畴 $C$ 到 $Set$ 的反变函子, 又称为预层 (presheaf).

定义 1.7.2.5 (全函子和忠实函子). 设 $C, D$ 都是局部小范畴, $F : C \to D$ 是一函子. 令 $X, Y \in C$ ; 则由定义可知有一函数 $F_{X, Y} : Hom_{C} (X, Y) \to Hom_{D} (F (X), F (Y))$ , $f \mapsto F (f)$ .

若 $F_{X, Y}$ 是单射, 则称 $F$ 是忠实函子 (faithful functor); 若 $F_{X, Y}$ 是满射, 则称 $F$ 是全函子 (full functor). 特别地, 若 $F_{X, Y}$ 是双射, 则称 $F$ 是全忠实函子 (full and faithful/fully faithful functor).

1.7.3范畴里的一些构造

下面, 设 $C$ 为任意范畴.

定义 1.7.3.1 (始对象). 若 $C$ 有一对象 $X \in C$ 使得: 对每个对象 $Y \in C$ , 都有且只有一个从 $X$ 到 $Y$ 的态射, 则称 $X$ 为 $C$ 的始对象 (initial object).

定义 1.7.3.2 (终对象). 若 $C$ 有一对象 $X \in C$ 使得: 对每个对象 $Y \in C$ , 都有且只有一个从 $Y$ 到 $X$ 的态射, 则称 $X$ 为 $C$ 的终对象 (final object).

始对象和终对象互为对偶的概念. 不难看出, 始对象和终对象都是唯一的, 至多相差一个同构. 下面给出一些常见范畴中始对象和终对象的例子:

例 1.7.3.3.

•	在 $Set$ 里, 始对象是空集, 终对象是单元素集合;
•	在 $Mod_{R}$ 里, 始对象和终对象都是零模;
•	在 $Ring$ 里, 终对象是零环, 但始对象是 $Z$ !
•	域范畴既没有始对象也没有终对象.

定义 1.7.3.4 (积). 令 $X, Y \in C$ . 若存在一个对象 $W \in C$ 和态射 $π_{1} : W \to X$ , $π_{2} : W \to Y$ 满足下列条件, 则称 $W$ 是 $X$ 和 $Y$ 的积 (product), 并记 $W$ 为 $X \times Y$ :

对于任何 $Z \in C$ 和任何态射 $f : Z \to X$ , $g : Z \to Y$ , 都有唯一的态射 $u : Z \to W$ 使得下图交换: $Z X W Y f u g π_{1} π_{2}$ 一般记满足上面条件的 $u$ 为 $(f, g)$ .

定义 1.7.3.5 (余积). 令 $X, Y \in C$ . 若存在一个对象 $W \in C$ 和态射 $ι_{1} : X \to W$ , $ι_{2} : Y \to W$ 满足下列条件, 则称 $W$ 是 $X$ 和 $Y$ 的余积 (coproduct), 并记 $W$ 为 $X ∐ Y$ :

对于任何 $Z \in C$ 和任何态射 $f : X \to Z$ , $g : Y \to Z$ , 都有唯一的态射 $u : W \to Z$ 使得下图交换: $Z X W Y f ι_{1} u g ι_{2}$ 一般记满足上面条件的 $u$ 为 $f \oplus g$ 或 $f ∐ g$ .

可见, 积和余积也是互相对偶的概念. 下面给出一些积和余积的例子:

例 1.7.3.6.

•	在 $Set$ 里, 积是集合的笛卡尔积, 余积是集合的不交并 (若 $A$ , $B$ 是集合, 则其不交并是集合 $A ∐ B = {(a, x) ∣ x \in A} \cup {(b, y) ∣ y \in B}$ );
•	在 $Mod_{R}$ 里, 积是模的积, 余积是模的直和;
•	在 $Ring$ 里, 积是环的积, 余积也存在, 但较为复杂.

进一步, 还可以证明积和余积也是唯一的, 至多相差一个同构.

定义 1.7.3.7 (等化子). 令 $X, Y \in C$ , $f, g : X \to Y$ . 如果存在对象 $E$ 和态射 $e : E \to X$ , 使得 $f \circ e = g \circ e$ , 且对任意对象 $S \in C$ , 只要存在态射 $e^{'} : S \to X$ 使得 $f \circ e^{'} = g \circ e^{'}$ , 则有唯一的态射 $u : S \to E$ 使得 $e^{'} = e \circ u$ , 那么称 $E$ 是 $X$ 和 $Y$ 的等化子 (equalizer). 用交换图表示如下: $E X Y S e f g u e^{'}$

定义 1.7.3.8 (余等化子). 令 $X, Y \in C$ , $f, g : X \to Y$ . 如果存在对象 $Q$ 和态射 $q : Y \to Q$ , 使得 $q \circ f = q \circ g$ , 且对任意对象 $S \in C$ , 只要存在态射 $q^{'} : Y \to S$ 使得 $q^{'} \circ f = q^{'} \circ g$ , 则有唯一的态射 $u : Q \to S$ 使得 $q^{'} = u \circ q$ , 那么称 $q$ 是 $f$ 和 $g$ 的余等化子 (coequalizer). 用交换图表示如下: $X Y Q S f g q q^{'} u$

可见等化子和余等化子也是互相对偶的, 并且在同构意义下也是唯一的.

例 1.7.3.9. 在 $Set$ 里, 两个态射 (函数) $f, g : X \to Y$ 的等化子是集合 ${x \in X ∣ f (x) = g (x)}$ .

命题 1.7.3.10. 在 $Mod_{R}$ 里, 所有等化子和余等化子都存在.

证明. 留作练习. (提示:

f, g : M \to N

的等化子由

ker (f - g)

给出, 而其余等化子由

N / im (f - g)

给出.)

$□$

注意到上面积、余积、等化子和余等化子的定义都是以 “某 (对象/态射) 满足某条件, 且对于其它满足某一条件的 (对象/态射) , 都有唯一的态射射入 (出) 该对象” 的形式给出. 这种形式的条件, 我们一般称为万有性质 (universal property).

定义 1.7.3.11 (拉回). 设 $X, Y, Z \in C$ , $f : X \to Z$ , $g : Y \to Z$ . 那么, 若有一对象 $P \in C$ 和态射 $p_{1} : P \to X$ , $p_{2} : P \to Y$ 使得 $f \circ p_{1} = g \circ p_{2}$ , 且 $P$ 对该性质万有: 对所有 $Q \in c a t$ , $q_{1} : Q \to X$ , $q_{2} : Q \to Y$ , 若 $f \circ q_{1} = g \circ p_{2}$ , 则存在唯一的态射 $u : Q \to P$ , 使得 $q_{1} = p_{1} \circ u$ , $q_{2} = p_{2} \circ u$ , 则称 $P$ 是 $f$ 和 $g$ 的拉回 (pullback) , 也叫 $X$ 和 $Y$ 相对 $Z$ 的纤维积 (fiber product) , 又记作 $P = X \times_{Z} Y$ .

用交换图表示如下: $Q P Y X Z u q_{1} q_{2} p_{1} p_{2} g f$

特别的, 如果在下面的交换图中 $P Y X Z$ 有 $P = X \times_{Z} Y$ , 则称这一交换图为一笛卡尔方块 (cartesian square).

定义 1.7.3.12 (推出). 推出是拉回的对偶概念, 留给读者定义.

1.7.4自然变换和范畴等价

下面, 我们从一个例子引出自然变换的概念.

例 1.7.4.1. 设 $V$ 是域 $k$ 上的向量空间, 则所有线性映射 $f : V \to k$ 也构成一个向量空间 (留给读者自行验证) . 我们称这个空间为 $V$ 的对偶空间 (dual space), 也记作 $V^{\lor}$ . 若 $f : V \to W$ 是 $k$ -线性映射, 则我们可以取 $f$ 的对偶 $f^{\lor} : W^{\lor} \to V^{\lor}$ 为 $f^{\lor} (φ) = φ \circ f$ .

不难验证, 取对偶这一操作定义了一从 $Vect_{k}$ 到自身的反变函子, 也可以写作 $(-)^{\lor} : Vect_{k}^{op} \to Vect_{k}$ . 而取两次对偶则又成了一个协变自函子: $(-)^{\lor\lor} : Vect_{k} \to Vect_{k}$ . 更进一步, 每个向量空间 $V$ 都是其双重对偶空间 $V^{\lor\lor}$ 的子空间, 并且有一个 “典范” 的方式嵌入其双对偶空间.

我们想把上面例子中的 “典范” 更严格地描述. 为此, 我们可以引入自然变换的概念.

定义 1.7.4.2 (自然变换). 设 $C, D$ 为范畴, $F, G : C \to D$ 是其之间的函子, 那么 $F$ 到 $G$ 的一个自然变换 (natural transformation) $η$ 包含以下数据:

•	对每个 $X \in C$ , 都有一个 $D$ 中的态射 $η_{X} : F (X) \to G (X)$ ;
•	对所有 $C$ 中的态射 $f : X \to Y$ , 都有 $η_{Y} \circ F (f) = G (f) \circ η_{X}$ .

特别地, 若上面定义中所有 $η_{X}$ 都是同构, 则称 $η$ 为自然同构 (natural isomorphism).

例 1.7.4.3. 我们可以把上面例子中的 “典范” 严格定义为: 存在一个从 $1 : Vect_{k} \to Vect_{k}$ (恒等函子, 即将所有对象和态射都映射到其本身的函子) 到 $(-)^{\lor\lor}$ 的自然变换.

定义 1.7.4.4 (函子范畴). 设 $C, D$ 都是范畴, 则全体 $C \to D$ 的函子构成一个范畴, 其态射是自然变换, 单位态射和态射复合的结合律留给读者自行验证. 该范畴称为函子范畴 (functor category) , 记为 $[C, D]$ .

特别地, $C$ 上的预层的范畴称为预层范畴 (presheaf category) , 记为 $PSh (C)$ .

下面我们简单介绍范畴论中最重要的定理之一. 这一定理最早由米田信夫 (Nobuo Yoneda) 发现, 因此以其命名; 而它最早以现在的形式出现则是在格罗腾迪克的讲义中.

引理 1.7.4.5 (米田引理, Yoneda lemma [米田信夫 (1954), Grothendieck (1958)]). 设 $C$ 是任意局部小范畴, 则对于任何函子 $F : C^{op} \to Set$ 和任何 $c \in C$ , 都有一双射 $Hom_{[C^{op}, Set]} (Hom_{C} (-, c), F) ≅ F (c) .$ 若将两边看作关于 $c$ 和 $F$ 的函子, 则这还定义了一自然同构.

进一步, 我们可以定义一从 $C$ 到 $[C^{op}, Set]$ 的函子 $y$ , 使得 $y (c) = Hom_{C} (-, c)$ . 读者可以自行验证这是一个函子. 我们通常将这一函子称为米田嵌入 (Yoneda embedding). 那么, 米田引理还有一个更加言简意赅的形式: 米田嵌入是全忠实的.

1.7.5极限和余极限

在此之前我们定义了始对象、积、等化子、拉回等概念, 这些概念都是通过万有性质定义的: 即这类对象都使某个交换图交换, 并且该对象在所有满足该条件中的对象里是万有 (universal) 的, 即所有其它满足该条件的对象和该对象之间都有唯一的态射.

实际上, 这类结构有一统一的构造方法, 我们称之为极限 (limit). 极限的对偶, 称为余极限 (colimit). 在此, 我们不对极限进行严格的定义, 但之前给出的范畴内的构造, 都是极限或余极限的例子.

1.7.6阿贝尔范畴: 从线性代数到无穷范畴

在之前的几讲中, 我们实际上接触了一类重要的范畴: 这类范畴具有良好的积和余积结构, 有良好的正合列理论等等. 其中最具有代表性的即是 $Mod_{R}$ . 实际上, 这类对象在数学中经常出现, 因此用一种统一的语言描述这类对象便成为了上世纪中叶数学的当务之急, 也成了范畴论发展的重要契机.

麦克莱恩 (S. Mac Lane)、艾伦伯格 (S. Eilenberg) 和 H. 嘉当 (H. Cartan) 等数学家在上世纪 40 到 50 年代发展了范畴论的基础, 但真正将范畴论的语言发扬光大的当属塞尔 (J.-P. Serre) 和格罗腾迪克 (A. Grothendieck). 特别的, 格氏在 1957 年发表的重要论文 “Sur quelques points d’algèbre homologique” (通常称为 “东北论文” (Tohoku paper)) 中定义了一类重要的范畴, 为范畴论找到了大量应用场景.

定义 1.7.6.1 (零对象). 如果始对象又是终对象, 则称为零对象 (zero object). 零对象一般记作 $0$ .

例 1.7.6.2. $Mod_{R}$ 有零对象, 即零模.

定义 1.7.6.3 (零态射). 设 $C$ 为一有零对象的范畴, $X, Y \in C$ . 那么通过 $0$ 的唯一态射 $f : X \to Y$ , $f = X \to 0 \to Y$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的零态射 (zero morphism), 记为 $0_{X Y}$ .

注意到因为零对象既是始对象又是终对象, 所以射入和射出它的态射都必然唯一.

定义 1.7.6.4 (核和余核). 设 $C$ 为一有零对象的范畴, $X, Y \in C$ . 则对任意态射 $f : X \to Y$ , 定义 $f$ 的核 (kernel) 为 $f$ 和 $0_{X Y}$ 的等化子, 定义 $f$ 的余核 (cokernel) 为 $f$ 和 $0_{X Y}$ 的余等化子.

例 1.7.6.5. $Mod_{R}$ 有所有核和余核. 线性映射 $f : M \to N$ 的 (范畴论意义的) 核由 $ker f$ 和其到 $M$ 的典范包含映射给出; 其余核由 $N / im f$ 和 $N$ 到它的典范投影映射给出.

下面, 我们便可以给出阿贝尔范畴的定义:

定义 1.7.6.6 (阿贝尔范畴 [Grothendieck (1957)]). 设 $C$ 为一范畴. 如果 $C$ 满足下列条件, 我们称其是阿贝尔范畴 (abelian category) :

•	$C$ 有零对象;
•	$C$ 有所有有限双积 (即有限积和有限余积相同);
•	$C$ 有所有核和余核;
•	$C$ 里所有单态射都是另一态射的核, 所有满态射都是另一态射的余核.

$Mod_{R}$ 是阿贝尔范畴最重要也最典范的例子. 事实上, 前几节中证明的关于模的定理大多数都可以推广到任意阿贝尔范畴, 例如分裂引理等. 我们还有如下结果:

定理 1.7.6.7 (Freyd-Mitchell 嵌入定理, Freyd-Mitchell embedding theorem [Mitchell (1964)]). 设 $A$ 是一阿贝尔范畴, 则存在一 (未必交换的) 环 $R$ 使得有一从 $A$ 到 $Mod_{R}$ 的全忠实函子.

研究阿贝尔范畴中各种构造及其性质的学科叫做同调代数 (homological algebra)³.

更进一步, 格罗腾迪克进而在上世纪 80 年代又发现同调代数只是一个 (当时仍未阐明的) 更一般理论的特例. 然而格氏在仍未阐明该理论之前便彻底退出了数学研究, 在南法乡间隐居 20 多年后于 2014 年溘然长辞. 后来, R. Brown、A. Joyal、R. Jardine、C. Rezk、J. Lurie 等数学家将格氏的想法发扬光大, 深入研究并严格化了这个 “更一般理论”. 我们今天通常把这一理论称为高阶范畴论 (higher category theory) 或无穷范畴论 ( $\infty$ -category theory).

然而, 无穷范畴论至今仍有大量重要问题悬而未决, 因此至今仍是纯数学中最重要也最活跃的研究领域之一. 获 1998 年菲尔兹奖的康采维奇 (M. Kontsevich)、获 2002 年菲尔兹奖的弗沃德茨基 (V. Voevodsky), 以及获 2018 年菲尔兹奖的舒尔茨 (P. Scholze) 等人的工作, 都和无穷范畴论有着紧密的联系.

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