1.6. 投射模与正合列

在这一讲中, 我们同样默认 $R$ 是任意环, 且所有模都是左 $R$-模.

1.6.1正合列

我们引入研究模 (以及将来的同调代数) 中最重要的工具之一: 正合列.

定义 1.6.1.1 (链复形、正合列). 设 $(M_i\mid i\in \mathbb{Z})$ 为一列模, 且它们之间有一系列 $R$-线性映射 $\{f_i:M_i\to M_{i+1}\}$. 用图表表示可能更加直观: $$\cdots M_{i-1}{M}_i{M}_{i+1}\cdots f_{i-1}{f}_i$$

如果任意两个相邻映射复合为 0 (即对于任意 $i\in \mathbb{Z}$ 都有 $f_i\circ f_{i-1}=0$), 那么我们称这一列为链复形 (chain complex).

特别地, 如果 $\mathrm{im}{f}_{i-1}=\ker f_i$, 则我们说该列在 ${\mathbf{M}}_{\mathbf{i}}$ 处正合 (exact at $M_i$). 如果该列在每处都正和, 我们将这一列叫做正合列 (exact sequence) .

正合列是数学中极其重要的工具: 它不仅在代数中有广泛的应用, 在微分几何甚至分析中都有其应用.

例 1.6.1.2. 下面给出一个分析 (微分几何) 中正合列的例子. 令 $C^{\infty }(U;V)$ 为所有从 $U$ 到 $V$ 的光滑函数的集合, 其中 $U\subseteq {\mathbb{R}}^m$, $V\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是欧氏空间中的开集. 不难看出这些集合都是 $\mathbb{R}$-模 (即 $\mathbb{R}$-向量空间) .

那么我们有如下的正合列: $$\cdots 0C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;\mathbb{R})C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;{\mathbb{R}}^3)C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;{\mathbb{R}}^3)C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;\mathbb{R})0\cdots \nabla \nabla \times \nabla \cdot \nabla \cdot$$其中 $\nabla$ 是梯度算符, $\nabla \times$ 是旋度算符, $\nabla \cdot$ 是散度算符.

证明可以在向量分析或多元微积分的课本中找到.

下一引理带我们认识模论和同调代数中一种重要的证明方法: 追图法 (diagram chasing).

引理 1.6.1.3 (四引理, four lemma). 设下面的 $R$-模的交换图中两行都正合: $$ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\alpha f\beta g\gamma h\delta f^{\prime }{g}^{\prime }{h}^{\prime }$$那么:

1.	若 $\alpha ,\gamma$ 都是满映射且 $\delta$ 是单映射, 那么 $\beta$ 也是满映射;
2.	若 $\alpha$ 是满映射且 $\beta ,\delta$ 是单映射, 那么 $\gamma$ 也是单映射.

证明. 我们用追图法证明 1. 设 $b^{\prime }\in B^{\prime }$, 因为 $\gamma$ 是满映射, 那么必有 $c\in C$ 使得 $g^{\prime }(b^{\prime })=\gamma (c)$.

由上图的交换性, 又可知 $\delta (h(c))=h^{\prime }(\gamma (c))=h^{\prime }(g^{\prime }(b^{\prime }))=0$. 所以 $h(c)\in \ker \delta =\{0\}$ (因为 $\delta$ 是单映射), 换言之 $h(c)=0$, 或曰 $c\in \ker h=\mathrm{im}g$, 所以有 $b\in B$ 使得 $g(b)=c$.

再次由上图交换性可知, $g^{\prime }(b^{\prime })=\gamma (c)=\gamma (g(b))=g^{\prime }(\beta (b))$, 即 $g^{\prime }(b^{\prime }-\beta (b))=0$, $b^{\prime }-\beta (b)\in \ker g^{\prime }=\mathrm{im}{f}^{\prime }$. 换言之, 存在 $a^{\prime }\in A^{\prime }$ 使得 $f^{\prime }(a^{\prime })=b^{\prime }-\beta (b)$.

又因为 $\alpha$ 是满映射, 可知有 $a\in A$ 使得 $\alpha (a)=a^{\prime }$. 因此, 再由上图交换性可知, $b^{\prime }-\beta (b)=f^{\prime }(\alpha (a))=\beta (f(a))$, 亦即 $b^{\prime }=\beta (b+f(a))$. 可知必定存在一元素 $x=b+f(a)\in B$ 使得 $b^{\prime }=\beta (x)$, $\beta$ 是满映射.

同样可以用追图法证明 2, 留作练习.

$\square$

推论 1.6.1.4 (五引理, five lemma). 设下面的 $R$-模的交换图中两行都正合: $$ABCDE{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }lmnpq$$那么若 $m,p$ 是同构, $l$ 是满映射, $q$ 是单映射, 则 $n$ 是同构.

证明. 先考虑左边三个方格: 由 1.6.1.3 可知 $n$ 是单映射. 再考虑右边三个方格, 同样由 1.6.1.3 可知 $n$ 是满映射. 因此 $n$ 是同构.

$\square$

接下来我们将重点放在更具体、更简单的一些正合列上.

定义 1.6.1.5 (短正合列). 如果一个正合列只在 $n-1,n,n+1$ 三处不为零 (即除此之外之处都有 $M_i=0$) , 则称该正合列为短正合列 (short exact sequence) . 在图示中, 我们一般省略除第一个非零项前的项和最后一个非零项后的项以外的所有项: $$0LMN0;fg$$

还可以更简短地表示为: $$LMN.fg$$

例 1.6.1.6. 设 $M,N$ 为任意模, $f:M\to N$ 为 $R$-线性映射. 我们有如下两个十分基本且重要的正合列: $$0\ker fMM/\ker f0;\iota \pi$$$$0\mathrm{im}fNN/\mathrm{im}f0.\iota \pi$$

且由 1.5.2.1 可知, 每个短正合列都可写为前者的形式, 至多相差一个同构.

短正合列是研究模极其重要的工具. 首先我们做出下面的观察:

命题 1.6.1.7. 若$$0LMN0fg$$是一短正合列, 则 $f$ 必定是单映射, $g$ 必定是满映射.

证明. 由该列在 $L$ 处正合可知 $\ker f=\mathrm{im}0=0$, 而核为 $0$ 的映射必定是单映射. 同理, 由该列在 $N$ 处正合可知 $\mathrm{im}g=\ker 0=N$, 即 $g$ 是满映射.

$\square$

下面的引理刻画了一类很重要的正合列. 它们一般被认为是结构最简单, 也最基本的正合列:

引理 1.6.1.8 (分裂引理, splitting lemma). 设$$0LMN0;fg$$为一短正合列. 那么下列条件等价:

1.	(左分裂) 存在一线性映射 $h:M\to L$ 使得 $h\circ f={\mathrm{id}}_L$ (换言之, $f$ 左可逆) ;
2.	(右分裂) 存在一线性映射 $i:N\to M$ 使得 $g\circ i={\mathrm{id}}_N$ (换言之, $g$ 右可逆) ;
3.	(直和) $M\cong L\oplus N$. 更具体地, 存在一个同构 $\theta$ 使得$$0LMN00LL\oplus NN0f\mathrm{id}g\theta \mathrm{id}{\iota }_1{\pi }_2$$交换.

满足上面任意等价条件的正合列, 称为分裂正合列 (split exact sequence) .

证明. 我们先证明条件 3 能推出条件 1 和 2, 再分别证明条件 1 和条件 2 能推出条件 3, 原题即得证.

•	(3 $\Rightarrow$ 1) 和 (3 $\Rightarrow 2$). 取 $h={\pi }_1\circ \theta :M\to L$, 其中 ${\pi }_1:L\oplus N\to L$ 是典范投影映射. 因为 ${\pi }_1\circ {\iota }_1=\mathrm{id}$, 且由上图交换性可知 ${\iota }_1={\iota }_1\circ \mathrm{id}=\theta \circ f$, 即 $f={\theta }^{-1}\circ {\iota }_1$. 那么 $h\circ f=({\pi }_1\circ \theta )\circ ({\theta }^{-1}\circ {\iota }_1)=\mathrm{id}$. 同理, 取 $i={\theta }^{-1}\circ {\iota }_2$, 即有 $g\circ i=\mathrm{id}$, 其中 ${\iota }_2:N\to L\oplus N$ 是典范包含映射.
•	(1 $\Rightarrow$ 3). 定义 $\theta :M\to L\oplus N$ 为 $\theta (x)=(h(x),g(x))$. 这显然是线性的, 且使上面的交换图交换. 接下来, 我们证明 $\theta$ 是双射. 先证明 $\theta$ 是单射: $\theta (x)=(0,0)$ 当且仅当 $h(x)=0_L$, $g(x)=0_N$. 换言之, $\ker \theta =\ker h\cap \ker g$. 由于 $\mathrm{im}f=\ker g$, 也可写作 $\ker \theta =\ker h\cap \mathrm{im}f$. 若 $x\in \ker h\cap \mathrm{im}f$, 那么根据定义有 $y\in L$ 使得 $f(y)=x$, 且 $h(x)=0$. 换言之, $h(f(y))=(h\circ f)(y)=0$. 但注意到 $h\circ f=\mathrm{id}$, 所以必然 $y=0$. 又因为 $x=f(y)$ 且 $f$ 是 $R$-线性的, 所以必然有 $x=0$. 换言之, $\ker h\cap \mathrm{im}f=\{0\}$. 最后, 我们证明 $\theta$ 是满射. 由 1.6.1.7 知 $g$ 是满映射, 所以必有 $x\in M$ 使得 $z=g(x)$. 又因为 $\ker g=\mathrm{im}f$, 所以对于任何 $y\in L$, 都有 $x\in M$ 使得 $z=g(x+f(y))$. 注意到 $h(x+f(y))=h(x)+(h\circ f)(a)=h(x)+y$. 因而对于任意 $(a,b)\in L\oplus N$, 都有 $m=x+f(a-h(x))\in M$ 使得$$\begin{array}{rl}\theta (m)=\theta (x+f(a-h(x)))& =(h(x)+(h\circ f)(a-h(x)),g(x)+(g\circ f)(a-h(x)))\\ & =(h(x)+a-h(x),g(x))\\ & =(a,b)\end{array}$$其中 $x\in M$ 是一使得 $g(x)=b$ 的元素. 换言之, $\theta$ 是满射.
•	(2 $\Rightarrow$ 3). 证明类似, 留作练习.

$\square$

1.6.2投射模

投射模是一类特殊的模, 在我们接下来的讨论中十分重要.

定义 1.6.2.1 (投射模). 设 $P$ 是一个模. 如果存在一个模 $Q$ 使得 $P\oplus Q$ 是自由模, 则称 $P$ 是 投射模 (projective module).

显然, 所有自由模都是投射模, 但反之不然.

例 1.6.2.2 (不是自由模的投射模). 设 $R,S$ 都是环, 并令 $I=R\times 0$, $J=0\times S$. 不难看出, $I$ 和 $J$ 都是左 $R\times S$-理想, 因此也可以看作 $R\times S$ 模. 更进一步, 我们还不难看出 $I\oplus J=R\times S$, 因此 $I,J$ 都是投射模 (因为环看作自己本身上的模时显然是自由模) .

定义 1.6.2.3 (提升性质). 令 $M,N,P$ 为模, $f:M\to N$ 是 $R$-线性映射. 如果对所有 $R$-线性映射 $g:P\to N$ 都存在一 $R$-线性映射 $h$ 满足 $f\circ h=g$, 则我们称 $P$ 对 $f$ 满足提升性质 (lifting property).

这一性质也可以用下面的交换图表示: $$MPNf\exists h\forall g$$注意提升性质不是万有性质, 这里 $h$ 不一定唯一.

定理 1.6.2.4. 下列条件等价:

1.	$P$ 是投射模;
2.	$P$ 对所有满映射都满足提升性质;
3.	对任何模 $M,N$, 短正合列$$0MNP0$$都分裂.

证明. 我们分别证明条件 1 可推出条件 2、条件 2 可推出条件 3、条件 3 可推出条件 1, 便可证明三个条件全部等价.

•	$(1\Rightarrow 2)$. 我们先证明自由模对任意满映射都满足提升性质. 设 $F$ 是自由模, 并取其一组基 $\{a_i{\}}_{i\in I}$. 因为 $f:M\to N$ 是满映射, 所以对任意 $i\in I$, 都能够选定一个 $m_i\in M$ 使得 $f(m_i)=g(a_i)\in N$. 定义 $h:F\to M$ 使得 $h(a_i)=m_i$. 因为 $\{a_i\}$ 是一组基, $h$ 显然是线性映射 (因为线性映射被在基上的作用唯一确定) , 并且显然 $f\circ h=g$. 那么, 一般地, 若 $P$ 是投射模, 则必有另一模 $Q$ 使得 $P\oplus Q$ 是自由模. 那么 $P\oplus Q$ 对 $f$ 满足提升性质. 同时, 注意到任何 $g:P\to N$ 都可以延伸成一个 $P\oplus Q$ 到 $N$ 的线性映射: 记该映射为 $\tilde{g}:P\oplus Q\to N$, 则 $\tilde{g}=(g,0)$. 由提升性质, 可知有一映射 $h:P\oplus Q\to M$ 使得 $f\circ h=\tilde{g}$. 记典范包含映射为 ${\iota }_1:P\to P\oplus Q$, 则显然 $h\circ {\iota }_1:P\to M$ 是 $g$ 的提升.
•	$(2\Rightarrow 3)$. 令 $f:M\to P$ 为一满映射, 那么若 $P$ 对所有满映射满足提升条件, 则其对 ${\mathrm{id}}_P:P\to P$ 也必然满足提升条件. 由提升条件知有映射 $h:P\to M$ 使得 $f\circ h=\mathrm{id}$, 进而由 1.6.1.8 可知任意正合列 $0\to M\to N\to P\to 0$ 都分裂.
•	$(3\Rightarrow 1)$. 令 $F$ 为由 $P$ 生成的自由模, 即 $F={⨁}_{P}R=\{{\sum }_{i\in P}{r}_i{x}_i\mid r_i\in R\}$. 易见有一满映射 $f:F\to P$, $f(\sum r_i{x}_i)=r_i{p}_i$. 由 1.5.2.1 可知 $P=\mathrm{im}f\cong F/\ker f$, 则有正合列: $$0\ker fFP0.f$$ 由题设, 该正合列分裂, 则 $F\cong P\oplus \ker f$, 由定义知 $P$ 投射.

$\square$

推论 1.6.2.5. 向量空间的正合列都分裂.

证明. 向量空间都是自由模, 因此也都是投射模.

$\square$

推论 1.6.2.6 (零空间维数和秩的关系, rank-nullity theorem). 若 $V,W$ 都是有限维的 $k$-向量空间, $f:V\to W$ 是一线性映射, 则 $\dim V=\mathrm{rk}f+\dim \ker f$.

证明. 易知下列正合: $$0\ker fV\mathrm{im}f0.\iota f$$

所有向量空间的正合列都分裂, 因此 $V\cong \ker f\oplus \mathrm{im}f$. 同构的向量空间维数相等, 所以 $\dim V=\dim (\ker f\oplus \mathrm{im}f)=\dim \ker f+\mathrm{rk}f$.

$\square$

推论 1.6.2.7. 令 $V,W$ 为有限维 $k$-向量空间, 且 $\dim V=n,\dim W=m$. 若 $n<m$, 则从 $V$ 到 $W$ 没有满映射; 若 $n>m$, 则从 $V$ 到 $W$ 没有单映射.

证明. 设 $f:V\to W$ 为一线性映射. 若 $f$ 是满映射, 则 $\mathrm{rk}f=m$, 而又因为 $\dim V=n=m+\dim \ker f$, 必有 $n\ge m$. 若 $f$ 是单映射, 则 $\dim \ker f=0$, 即 $n=\mathrm{rk}f$. 显然 $\mathrm{im}f\subseteq W$, 所以易知 $\mathrm{rk}f=n\le m$.

$\square$

推论 1.6.2.8. 设 $V$ 为一有限维 $k$-向量空间, $W$ 为其子空间. 那么 $\dim (V/W)=\dim V-\dim W$.

证明. 考虑从 $V$ 到 $V/W$ 的典范投射 $\pi :V\to V/W$, 这是一个满映射. 那么 $\mathrm{rk}\pi =\dim (V/W)$. 由定义知 $\ker \pi =W$, 则由 1.6.2.6 知 $\dim V=\mathrm{rk}\pi +\dim \ker \pi =\dim (V/W)+\dim W$.

$\square$