1.5. 线性映射与同构定理

1.5.1线性映射的基本性质

线性代数中除了研究模本身, 自然还需要研究模之间的关系和映射. 因此, 我们在这里先描述一些线性映射的基本性质. 设 $M,N$ 为模, $f:M\to N$ 是一个 $R$-线性映射.

首先, 每个线性映射都诱导出两个子模. 这两个子模可说是线性代数里最重要的研究工具:

定义 1.5.1.1 (核). $f$ 的核 (kernel) $\ker f$ 是集合 $\{x\in M\mid f(x)=0\}$.

不难验证这是 $M$ 的一个子模. 如果 $M$ 是线性空间, $\ker f$ 还经常叫做零空间或解空间 (null space) .

定义 1.5.1.2 (像). $f$ 的像 (image) $\mathrm{im}f=f(M)$ 是集合 $\{y\in N\mid \exists x,f(x)=y\}$.

也不难验证这是 $N$ 的一个子模. 如果 $P\subseteq M$ 是 $M$ 的子模, 有时候我们也用 $f(P)$ 表示 $P$ 在 $f$ 下的像; 同样不难验证这是一个子模. 此外, 当 $V,W$ 都是向量空间时, $f:W\to W$ 的像的维数通常被称为 $f$ 的秩 (rank), 记作 $\mathrm{rk}f$, 换言之 $\mathrm{rk}f=\dim \mathrm{im}f$.

接着, 我们注意到两个简单但重要的事实: 单映射的核是 $\{0\}$, 满映射的像等于其上域.

此外, 核满足以下的万有性质. 对于任意模 $M,N$, 我们记映射 $x\mapsto 0:M\to N$ 为 $0_{MN}$ (不难看出这是 $R$-线性映射) :

命题 1.5.1.3 (核的万有性质). 记 $K=\ker f$, 并记 $\ker f$ 到 $M$ 的包含映射为 $k$. 那么:

1.	$f\circ k=0_{KN}$: $$MKN;fk{0}_{KN}$$
2.	对任何模 $K^{\prime }$ 和任何使得 $f\circ k^{\prime }=0_{K^{\prime }N}$ 的线性映射 $k^{\prime }:K^{\prime }\to M$, 都有唯一的线性映射 $u:K^{\prime }\to K$ 使得 $k\circ u=k^{\prime }$: $$MKN.K^{\prime }fk{0}_{KN}{k}^{\prime }u{0}_{K^{\prime }N}$$

我们还有关于核的如下性质:

定理 1.5.1.4. 若 $f:M\to N$ 是单映射, 则必有一模 $P$ 和线性映射 $g:N\to P$ 使得 $M\cong \ker g$.

证明. 令 $P=N/\mathrm{im}f$, 并令 $g$ 为 $N$ 到 $P$ 的典范映射.

我们观察到如下基本事实: 对任意集合 $A,B$ 和任何单射 $f:A\to B$, 若把 $f$ 的上域限制在 $\mathrm{im}f\subseteq B$, 则 $f$ 是 $A$ 到 $\mathrm{im}f$ 的双射.

注意到 $f$ 是单射, 所以做出如上限制后 $f$ 是双射, 换言之即 $\mathrm{im}f\cong M$. 因此我们也可以说 $P=N/M$. 显然 $g(x)=0$ 当且仅当 $x\in M$, 换言之即 $\ker g\cong M$.

$\square$

1.5.2同构定理

接下来, 我们介绍两个关于线性映射和模同构的重要定理, 它们被称为同构定理.

定理 1.5.2.1 (第一同构定理, first isomorphism theorem). 若 $M,N$ 是模, $f:M\to N$ 是 $R$-线性映射, 那么我们有: $\mathrm{im}f\cong M/\ker f$.

也可以用如下的交换图表示: $$MM/\ker f\mathrm{im}f\pi f\tilde{f}$$其中 $\tilde{f}$ 是同构.

证明. 我们定义一个函数 $\tilde{f}:M/\ker f\to N$ (注意和交换图里的 $\tilde{f}$ 有略微不同! ), 将其定义为: $\tilde{f}([x])=f(x)$.

首先, 我们证明 $\tilde{f}$ 是良定义的, 即: 若 $x,x^{\prime }\in [x]$ 则必有 $\tilde{f}([x])=\tilde{f}([x^{\prime }])$. 不难由此看出 $x-x^{\prime }\in \ker f$ (由商模的定义) , 即 $f(x-x^{\prime })=f(x)-f(x^{\prime })=0$, 亦即 $f(x)=f(x^{\prime })$.

并且, 我们知道 $\tilde{f}$ 是单的: 若 $\tilde{f}([x])=\tilde{f}([y])$, 那么根据定义有 $f(x)=f(y)$, 即 $f(x-y)=0$, 亦即 $x-y\in \ker f$, 由商模定义可知 $[x]=[y]$. 那么 $M/\ker f\cong \mathrm{im}f$.

$\square$

第一同构定理把任何线性映射的核和像联系在一起, 因此对研究线性映射的性质至关重要. 事实上, 它在三个同构定理绝对是最重要的一个. 此外, 它还揭示了下面的重要事实:

推论 1.5.2.2. 任意 $R$-线性映射都能被分解成满映射和单映射的复合.

证明. 设 $f:M\to N$ 是一 $R$-线性映射. 那么根据 1.5.2.1, 它可分解为两个映射: 从 $M$ 到 $M/\ker f$ 的映射, 和从 $M/\ker f=\mathrm{im}f$ 到 $N$ 的映射. 不难知道, 前一个映射是满映射, 后一个映射是单映射.

$\square$

定理 1.5.2.3 (第二同构定理, second isomorphism theorem). 设 $M$ 是模, $S$ 和 $T$ 都是 $M$ 的子模. 则 $(S+T)/T\cong S/(S\cap T)$.

证明. 我们定义一个线性映射 $f:S\to (S+T)/T$, 使得 $f(x)=[x]$. 注意到我们未必有 $T\subseteq S$, 所以我们最多只能得到 $[x]\in (S+T)/T$.

观察到 $f(x+y)=[x+y]=[x]+[y]=f(x)+f(y)$ (保持标量乘法同理) , 所以 $f$ 是线性的.

那么, 我们有: $\ker f=\{x\mid [x]=[0]\}$, 但注意到 $[x]=[0]$ 等价于 $x\in T$. 换言之, 我们有 $\ker f=S\cap T$.

再观察到 $f$ 是单映射: 对任何 $[x+y]\in (S+T)/T$, 我们都有 $[x+y]=[x]+[y]=[x]$ (因为 $y\in T$) , 即 $[x+y]=f(x)$. 那么 $\mathrm{im}f=(S+T)/T$. 此时, 使用 1.5.2.1, 原题便得证.

$\square$