1.4. 子模和商模

正如环有包含关系 (子环) , 模之间也有包含关系. 在这一节里, 我们同样设 $R$ 为任意环, 且所有模都是左 $R$-模, 除非特别说明.

1.4.1子模

定义 1.4.1.1 (子模). 设 $M$ 为一个 $R$-模, $N\subseteq M$ 是 $M$ 的子集. 若 $N$ 满足以下条件, 则称 $N$ 为 $M$ 的子模 (submodule):

1.	对任意 $x,y\in M$, 都有 $x+y\in M$;
2.	对任意 $x\in M$, 都有 $-x\in M$;
3.	对任意 $r\in R$, $x\in M$, 都有 $rx\in M$.

子模的记法类似于子环. 同样, 我们也可以用单射的 $R$-线性映射定义子模; 具体细节交给读者. 也不难验证子模关系具有传递性, 如同子环关系一样.

特别地, 如果 $N$ 是 $M$ 的子模, 且 $N$ 被 $S$ 生成, 那么我们也说 $N$ 是 $S$ 生成的子模. 另外, 不难看出 $M$ 的每个子集都生成一个 $M$ 的子模; 具体请读者自行验证.

例 1.4.1.2. 我们可以将 $R$ 看作自己本身上的模, 这样 $R$ 的子模就是 $R$ 的左理想.

例 1.4.1.3. 设 $R$ 是交换环. 如果将 $R[x]$ 和 $R[x,y]$ 看作 $R$-模, 那么显然 $R[x]$ 是 $R[x,y]$ 的子模.

接下来我们证明一个简单但重要的引理.

引理 1.4.1.4. 任意多 $M$ 的子模的交仍然是 $M$ 的子模.

证明. 为方便起见, 设 $\{M_i\mid i\in I,M_i\subseteq M\}$ 是一族 $M$ 的子模, 其中 $I$ 是一个指标集. 欲证命题即为: $$\cap M_i=\bigcap _{i\in I}{M}_i$$是 $M$ 的子模.

那么, 设 $x,y\in \cap M_i$. 那么我们有: $\forall i\in I,x,y\in M_i$. 根据子模的定义, 有 $\forall i\in I,x+y\in M_i$, 亦即 $x+y\in \cap M_i$.

其它性质也不难验证.

$\square$

子模的并不一定是子模, 但除了交, 我们还可以在子模上定义另一个运算: 和.

定义 1.4.1.5 (子模的和). 令 $N_1,N_2$ 为 $M$ 的子模. 定义 $N_1+N_2=\{x_1+x_2\mid x_1\in N_1,x_2\in N_2\}$ 为 $N_1$ 和 $N_2$ 的和 (sum) . 不难验证 $N_1+N_2$ 也是 $M$ 的子模.

更进一步, 有限多 $M$ 子模的和仍然是 $M$ 子模.

子模的交与和满足如下性质:

引理 1.4.1.6 (模定律, modular law). 若 $A,B,C$ 都是 $M$ 的子模且 $C\subseteq A$, 那么我们有 $A\cap (B+C)=(A\cap B)+C$.

证明. 因为 $C\subseteq A$, 不难发现 $A+C=A$. 更进一步, 观察到 $(A\cap B)+C\subseteq A+C$ 且 $(A\cap B)+C\subseteq B+C$, 那么我们有 $(A\cap B)+C\subseteq (A+C)\cap (B+C)=A\cap (B+C)$.

另一方面, 设 $x\in A\cap (B+C)$, 则我们有: $x\in A$, 且存在 $y\in B,z\in C$ 使得 $x=y+z$. 又因为 $C\subseteq A$, 因此我们有 $z\in A$, 也即 $y=x-z\in A$. 那么可得 $y\in (A\cap B)$, 则 $x=y+z\in (A\cap B)+C$. 由此可知 $A\cap (B+C)\subseteq (A\cap B)+C$.

$\square$

定义 1.4.1.7 (单模、半单模). 如果一个非零 (即非平凡的) 模除了自身和零模以外没有其它子模, 则称其为单模 (simple module). 如果一个模是一族单模的直和, 则称其为半单模 (semisimple module).

单模无法继续 “分解”, 因而其性质可以在某种意义上类比于质数之于整数.

例 1.4.1.8. 若 $p$ 是质数, 则 $p\mathbb{Z}$ 是单 $\mathbb{Z}$-模.

1.4.2商模

正如我们可以将环 “商去” 一个特定的子集 (即理想) 得到商环, 我们也可以将模 “商去” 子集得到商模. 并且, 我们所能够商去的子集正是子环.

定义 1.4.2.1 (商模). 设 $N$ 为 $M$ 的子模. 在 $M$ 上定义一等价关系 $\sim$, 使得 $x\sim y$ 当且仅当 $x-y\in N$. 接着, 我们取此等价关系的等价类 $[x]=x+N=\{x+y\mid y\in N\}$.

我们定义等价类的加法和标量乘法: $[x]+[y]=[x+y]$, $r[x]=[rx]$. 不难验证这是良定义的, 并且全体等价类的集合在这一定义下构成一个左 $R$-模, 称之为 $\mathbf{M}$ 对 $\mathbf{N}$ 的商模 (quotient of $M$ by $N$) , 记作 $M/N$.

关于商模的结构, 我们有如下简单但重要的定理.

定理 1.4.2.2 (对应定理, correspondence theorem). 设 $N$ 是 $M$ 的子模. 在 $M$ 的包含 $N$ 的子模与 $M/N$ 的子模之间存在一一对应, 并且该一一对应保持包含关系. 更详细说, 令 $K\subseteq M$ 为 $M$ 的子模, 并设 $N\subseteq M$, 则 $K\mapsto K/N$ 定义的函数是一双射, 并且若 $K\subseteq K^{\prime }\subseteq M$, 则有 $K/N\subseteq K^{\prime }/N$.

证明. 首先, 不难看出若 $K$ 是 $M$ 的子模, 则 $K/N$ 一定是 $M/N$ 的子模. 也就是说, 该对应是满射.

接着, 我们令 $T$ 为 $M/N$ 的子模, 并定义 $K=\{x\in M\mid [x]\in T\}$. 不难验证 $K$ 是 $M$ 的子模. 更进一步, 我们知道 $N\subseteq K$ (若 $x\in N$, 则 $[x]=0$) . 并且, 根据定义, 有 $T=K/N$. 换言之, 对于任何 $M/N$ 的子模 $T$, 都存在 $M$ 的子模 $K$ 使得 $N\subseteq K$ 且 $T=K/N$.

接着我们证明该对应是单射, 即: 若 $K$ 和 $K^{\prime }$ 都是 $M$ 的包含 $N$ 的子模, 且 $K/N=K^{\prime }/N$, 则 $K=K^{\prime }$. 我们将这部分留作练习. 该映射保持包含关系的证明同样留作练习.

$\square$