1.3. 积与直和

在这一讲里, 如无另行说明, 一律假设 $R$ 是任意环, 所有模都是左 $R$ -模.

1.3.1模的积
1.3.2模的直和

1.3.1模的积

定义 1.3.1.1 (模的积). 模 $M, N$ 的积 (product) 是 $M \times N$ , 其中 $\times$ 是集合的笛卡尔积; 加法和标量乘法都逐元素定义. 不难验证这是一个模.

更一般地, 设 ${M_{i} ∣ i \in I}$ 是任意一族模, 不必有限, 则这一族模的积是 $i \in I \prod M_{i},$ 加法和乘法同样逐元素定义.

模的积是数学中常见的积构造的一个特例, 也是模上最基本的构造之一. 可以验证, $\prod M_{i}$ 到 $M_{i}$ 的 投射映射 (projection) $π_{i} = (..., a_{i}, a_{i + 1}, ...) \mapsto a_{i}$ 是 $R$ -线性映射.

1.3.2模的直和

定义 1.3.2.1 (模的直和). 令 ${M_{i} ∣ i \in I}$ 为一族模. $M_{i}$ 的直和 (direct sum) 是一有序列 $(x_{i} ∣ i \in I, x_{i} \in M_{i})$ , 其中至多有有限个 $x_{i} \neq = 0$ . 我们将 ${M_{i}}$ 的直和记为 $i \in I ⨁ M_{i} .$

加法和标量乘法同样逐元素定义. 同样也不难验证这是一个模.

对于任意一族 ${M_{i}}$ , 我们有一典范的包含映射 (inclusion) $ι_{i} : M_{i} \to ⨁ M_{i}$ , 定义为 $x \mapsto (..., 0, 0, x, 0, 0, ...)$ (只有列中第 $i$ 个元素非零) . 不难看出这必然是 $⨁ M_{i}$ 的元素.

更进一步, 当 ${M_{i}}$ 有限时, 显然有 $\prod M_{i} = ⨁ M_{i}$ . 直和也叫做余积 (coproduct); 有限个模的积和直和 (余积) 相同, 因此也被叫做双积 (biproduct). 我们会在之后范畴论一节里更详细说明这些术语.

命题 1.3.2.2. 自由模的直和一定是自由模.

证明. 设

M, N

都是自由模, 且

M

有一组基

{e_{i} ∣ i \in I}

,

N

有一组基

{u_{j} ∣ j \in J}

. 不难看出

{(e_{1}, 0), ..., (e_{i}, 0), ..., (0, u_{1}), ... (0, u_{j}), ... ∣ i \in I, j \in J}

是

M \oplus N

的一组基.

$□$

我们有一关于自由模的重要结论:

定理 1.3.2.3. 一个模 $M$ 是自由模, 当且仅当它同构于一族 $R$ (看作自身上的模) 的直和, 或者说 $M = i \in I ⨁ R .$

证明. $(\Rightarrow)$ 取 $M$ 的一组基 $X$ . 记 $R^{∣ X ∣} = m \in X ⨁ R .$ 我们构造一个 $M$ 到 $R^{∣ X ∣}$ 的双射如下.

注意到任何 $m \in M$ 都能写作 $\sum_{i \in I} r_{i} m_{i}$ 的形式, 其中 $m_{i} \in X$ . 那么我们定义 $φ (m) = φ (\sum r_{i} m_{i}) = (r_{i} ∣ i \in I)$ . 注意到 $∣ I ∣ = ∣ X ∣$ 且 $r_{i}$ 至多有限个不为 0. 不难验证其有线性逆映射 $φ^{- 1} ((r_{i} ∣ i \in I)) = \sum r_{i} m_{i}$ , 其中 $m_{i} \in X$ ¹.

(\Leftarrow)

显然

{e_{i}} = {(1, 0, ...), (0, 1, ...), ...}

是一组基.

$□$

推论 1.3.2.4. 设 $V$ 和 $W$ 是 $k$ -线性空间. 则 $dim (V \oplus W) = dim V + dim W$ .

证明. 我们已经看到,

V \oplus W

的一组基的基数正是

V

和

W

基的基数之和.

$□$

命题 1.3.2.5. 有限生成模的直和是有限生成模. 反之亦然: 如果 $M$ 是有限生成模且 $M = N \oplus P$ , 则 $N$ 和 $P$ 也必然是有限生成模.

证明. 同理可证, 留作练习.

$□$

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