1.2.1. 附录: 向量空间都有基的证明

1.2.1.1佐恩引理

定义 1.2.1.1.1. 偏序集 $P$ 的一个全序子集称为 $P$ 中的一个链 (chain).

定义 1.2.1.1.2. 设 $P$ 是偏序集, $S$ 是其一个子集. 如果存在一个元素 $u\in P$ 使得对于所有 $x\in S$ 都有 $x\le u$, 则称 $u$ 是 $S$ 的上界 (upper bound).

定义 1.2.1.1.3. 设 $P$ 是偏序集, $S$ 是其一个子集. 如果存在一个元素 $m\in S$, 使得对于任何 $x\in S$, 若 $m\le x$ 则必有 $x=m$, 则称该 $m$ 为 $S$ 的极大元素 (maximal element).

引理 1.2.1.1.4 (佐恩引理, Zorn’s lemma). 设 $P$ 为一偏序集. 如果 $P$ 中每个链都在 $P$ 中有上界, 那么 $P$ 至少有一个极大元素.

证明. 等价于选择公理. 可参阅任何集合论的参考书.

$\square$

1.2.1.2证明

首先, 我们注意到下面的事实:

命题 1.2.1.2.1. 令 $P$ 为一族集合的集合. 那么 $P$ 在集合包含关系 $\subseteq$ 下是一个偏序集.

那么, 给定一个 $k$-向量空间 $V$, 并假设 $V\ne \{0\}$. 我们考虑所有 $V$ 中线性无关集构成的集合, 它在 $\subseteq$ 关系下构成一个偏序集.

接着, 我们考虑该集合中的任意链. 假设我们有如下的包含关系: $$S_0\subseteq S_1\subseteq S_2\subseteq ...\subseteq S_i\subseteq ...$$那么我们声称: $\bigcup S_i$ 是该链的上界. 我们验证 $\bigcup S_i$ 是线性无关集即可.

我们可以用反证法证明. 设 $\bigcup S_i$ 有一线性组合$$\sum _{v_i\in \bigcup S_i}{a}_i{v}_i=0$$且 $a_i$ 不全为 0. 注意到按照定义 $a_i$ 只能有有限个不为 0, 那么我们可以取出所有 $a_i\ne 0$ 对应的 $v_i$ 构成的子集, 而显然它必然被这一链中的一个集合包含. 这与我们的假设矛盾. 那么, $\{S_i\}$ 一定有上界.

接下来, 根据佐恩引理, 我们知道, $V$ 所有线性无关集构成的集合在 $\subseteq$ 偏序关系下必有极大元素. 记该极大元素为 $M$. 显而易见, $M$ 必定是 $V$ 的生成集: 如果 $M$ 不是 $V$ 的生成集, 那么根据 Steinitz 交换引理的证明, 一定有另一个线性无关集包含 $M$, 这与 $M$ 是极大元的事实矛盾. 综上所述, 我们可知道 $M$ 是 $V$ 的一组基.