1.2. 线性相关、自由模、有限生成模与维度

在这一讲里, 如无特别说明, 我们都设 $R$ 为一个 (未必交换的) 环, $M, N$ 都是左 $R$ -模.

1.2.1线性组合与线性相关性
1.2.2自由模
1.2.3有限生成模
1.2.4有限维向量空间的基

1.2.1线性组合与线性相关性

这里, 线性组合以及线性无关 (相关) 的定义和一般的线性代数中完全一样.

定义 1.2.1.1 (线性组合). 设 ${m_{i} ∣ m_{i} \in M}$ 是 $M$ 的一组元素. ${m_{i}}$ 的一个 $R$ -线性组合 ( $R$ -linear combination) 或简称线性组合 (linear combination) 是一个可以表达为 $r_{i} \in R \sum r_{i} m_{i}$ 的元素.

需要注意到, 无穷个元素之和不是良定义的. 因此, 虽然我们允许 ${m_{i}}$ 是无限集合, 但必须要求 $(r_{i})$ 除有穷多个以外都为零.

定义 1.2.1.2 (线性相关). 设 ${m_{i} ∣ m_{i} \in M}$ 是 $M$ 的一组元素. 如果存在一个 ${m_{i}}$ 的线性组合 $\sum r_{i} m_{i} = 0$ , 且其中至少有一个 $r_{i} \neq = 0$ , 则我们称 ${m_{i}}$ 是线性相关 (linearly dependent) 的. 反之则称其是线性无关 (linearly independent) 的.

例 1.2.1.3. 设 $R$ 是任意交换环, 我们可以将 $R [x]$ 看作一个 $R$ -模. 那么 ${x^{2} + 1, x}$ 是线性无关的.

例 1.2.1.4. 考虑所有代数整数构成的环 $Z [i] = {a + bi ∣ a, b \in Z, i^{2} = - 1}$ . $I = (2, i + 1)$ 是一个 $Z [i]$ 的理想, 因而可以看作一个 $Z [i]$ -模. 同时, 很显然它也是一个 $Z$ -模.

那么, 考虑集合 ${4, 3 i + 5}$ . 如果将 $I$ 看作 $Z [i]$ -模, 那么它是线性相关的: 存在 $r_{1} = 3 i + 5$ , $r_{2} = - 4$ 使得 $r_{1} \cdot 4 + r_{2} \cdot (3 i + 5) = 0$ . 但如果将其看作一个 $Z$ -模, 那显然它是线性无关的.

命题 1.2.1.5. 线性无关集的子集也线性无关, 包含线性相关集的也线性相关.

证明. 若线性无关集有线性相关的子集, 那么取一使得将不在该子集内的元素的系数都设为 0, 即可得到原集合的一组值为 0 的线性组合, 这与原集合线性无关的假设矛盾. 反之, 若有一集合包含线性相关的子集, 取一子集的系数不全为 0 的线性组合, 将不在该子集内的元素的系数全部设为 0, 则可知该集合线性相关.

$□$

1.2.2自由模

我们在上一讲中看到了由集合生成的理想. 注意到理想是特殊的 $R$ -模; “生成” 这一概念也可以被推广到任意 $R$ -模.

定义 1.2.2.1 (生成集). 设 $S \subseteq M$ 是 $M$ 的一个子集. 若对任何 $m \in M$ 都有一组 $(r_{i} ∣ r_{i} \in R)$ 使得 $m = m_{i} \in S \sum r_{i} m_{i},$ 则称 $S$ 是 $M$ 的生成集 (spanning set, generating set), 或称 $M$ 被 $S$ 生成 (generated/spanned by $S$ ), 又记作 $M = ⟨ S ⟩$ . 如果 $M$ 是向量空间, 那么也写成 $M = span (M)$ .

更一般的, 如果 $m$ 能写成 $S$ 里元素的线性组合, 那么我们记为 $m \in ⟨ S ⟩$ , 反之记为 $m \in / ⟨ S ⟩$ .

定义 1.2.2.2 (自由模). 若 $M$ 有线性无关的生成集, 则称 $M$ 为自由模 (free module). 线性无关的生成集又曰基底 (或简称 “基”, basis).

例 1.2.2.3. $R^{n}$ 是自由模, 基底是 ${(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ...}$ .

例 1.2.2.4. 下面给出一个反例: 考虑交换环 $R$ 上的多项式环 $R [x, y]$ , 将其理想 $I = (x, y)$ 看作一个 $R [x, y]$ -模, 则其不是自由模.

证明. 假设

I

是自由模, 那么它的基至多只能有一个元素, 因为对任意

f, g \in I

,

{f, g}

一定是线性相关的 (因为

g f + (- f) g = 0

) . 根据命题 1.2.1.5,

I

不可能有超过一个元素的基. 然而

I

显然不可能有一个元素的基, 矛盾.

$□$

更进一步, 我们将一组基的大小 (即基数) 定义为自由模的秩 (rank). 对于大多数环 $R$ , 自由 $R$ -模的秩并不依赖于基的选取; 特别地, 交换环上的自由模的秩都与基的选择无关. 在这里我们不做证明.

下面, 我们给出一个关于基的常用性质.

定理 1.2.2.5. 若 $M$ 是自由模, ${m_{i} ∣ i \in I}$ 是 $M$ 的一组基. 那么, 对于任何模 $N$ , 给定一列 $N$ 的元素 $(n_{i} \in N ∣ i \in I)$ , 必存在唯一的 $R$ -线性映射 $f$ 使得 $\forall i \in I, f (m_{i}) = n_{i}$ .

证明. $M$ 是自由模, 所以任意 $m \in M$ 都能写成 ${m_{i}}$ 的线性组合. 我们定义一个 $M \to N$ 的函数 $f (i \in I \sum r_{i} m_{i}) = i \in I \sum r_{i} n_{i} .$

易证 $f$ 是 $R$ -线性映射, 且有 $f (m_{i}) = n_{i}$ .

接下来我们证明

f

的唯一性. 设另有

f^{'} : M \to N

满足题设条件. 对任意

m \in M

, 我们令

m = \sum r_{i} m_{i}

, 那么有:

f^{'} (x) = f^{'} (\sum r_{i} m_{i}) = \sum r_{i} f^{'} (m_{i}) = \sum r_{i} n_{i} = f (\sum r_{i} m_{i}) = f (x) .

$□$

这一性质我们经常表述为: 线性映射由其对基元素的作用唯一确定.

最后, 我们给出一个关于自由模的重要性质, 做简单了解即可.

定理 1.2.2.6 (自由模的万有性质). $M$ 是自由左 $R$ -模, 当且仅当存在集合 $S$ 和映射 $f : S \to M$ 使得对于任何左 $R$ -模 $N$ 和函数 $g : S \to N$ , 都存在唯一的 $R$ -线性映射 $g^{'}$ 使得下图交换: $S N M f g g^{'}$ (即: 使得 $g = g^{'} \circ f$ ) .

证明. 在此我们不做证明, 但 (

\Rightarrow

) 方向取即

S

为

M

的生成集即证. (

\Leftarrow

) 的证明思路类似: 说明

S

是

M

的生成集.

$□$

1.2.3有限生成模

定义 1.2.3.1 (有限生成模). 若 $M$ 有有限的生成集, 则称 $M$ 为有限生成模 (finitely-generated module).

例 1.2.3.2. 有限生成理想看作模时, 都是有限生成模.

例 1.2.3.3. 让我们回顾环 $R [x, y]$ 上的理想 $I = (x, y)$ 的例子. 我们已经知道 $I$ 看作 $R [x, y]$ -模时不是自由模, 但显而易见它是有限生成模. 因此, 有限生成模不都是自由模.

但显而易见, 有一组有限的基的自由模都是有限生成模.

接下来, 我们把注意力集中到向量空间上.

定义 1.2.3.4 (有限维向量空间). 设 $k$ 是域, $V$ 是一 $k$ -向量空间. 如果 $V$ 作为 $k$ -模有限生成, 则称之为有限维向量空间 (finite-dimensional vector space).

1.2.4有限维向量空间的基

接下来, 若无特别说明, 我们假设 $k$ 是任意域, $V$ 是一个 $k$ -向量空间. 在前面一部分我们已经看到, 有限生成模不一定是自由模. 但是, 如果我们只考虑向量空间, 这一性质却是成立的. 这让向量空间的性质大大简化.

引理 1.2.4.1 (线性相关引理). 若 $S$ 是 $V$ 的一个生成集, 且 $S$ 线性相关, 那么总有一个 $v \in S$ 使得 $V = ⟨ S \ {v}⟩$ .

证明. 不妨不失普遍性地设 $S = {v_{i} ∣ i = 1, ..., n}$ 是有限集合. 因为 $S$ 是线性相关的, 所以必然有一组 $(a_{i} ∣ a_{i} \in k)$ 使得 $i = 1 \sum n a_{i} v_{i} = 0.$

(注意, 在这里即使 $S$ 是无限的, $a_{i}$ 也至多有有穷个不为零, 不考虑所有系数为 0 的向量即可归约到有穷情况.)

此时我们可以任取一个使得 $a_{j} \neq = 0$ 的 $j \in {1, ... n}$ , 那么我们有: $v_{j} = i \neq = j \sum n - \frac{a _{i}}{a _{j}} v_{i}$ 根据定义, 这说明 $v_{j} \in ⟨ S \ {v_{j}}⟩$ .

更进一步, 我们还知道

⟨ S \ {v_{j}}⟩ = ⟨ S ⟩

.

$□$

引理 1.2.4.2 (Steinitz 交换引理). 令 $V$ 为一向量空间, $S \subseteq V$ 为一线性无关集. 那么存在一组基 $E$ 使得 $S \subseteq E$ .

证明.

•	如果 $V = ⟨ S ⟩$ , 说明 $S$ 已经是 $V$ 的一组基;
•	选取一个 $v \in V$ 使得 $v \in / ⟨ S ⟩$ . 可知 $S \cup {v}$ 仍然是线性无关的 (反证法: 若 $S \cup {v}$ 线性相关, 则有一组 $(a_{i} ∣ a_{i} \in k)$ 和一个 $b \in k$ 使得 $v_{i} \in S \sum a_{i} v_{i} + b v = 0.$ 那么 $v = - v_{i} \in S \sum \frac{a _{i}}{b} v_{i}$ 这和 $v \in / ⟨ S ⟩$ 的假设矛盾);
•	如果 $V = ⟨ S \cup {v}⟩$ , 则我们已得到 $V$ 的一组基. 否则重复这一过程即可.

如果

V

是有限维空间, 那么存在有限的生成集, 所以可以保证最后定能得到一组基. 细心的读者可能发现, 我们并没有保证这一过程能在 (可能无限步后) 停止 ¹, 但如果读者愿意接受集合论中的选择公理, 那么选择公理的等价命题 Zorn 引理可以给出一个保证.

$□$

注意到若 $k$ 不是除环, 则引理 1.2.4.1 不一定成立, 因为其证明依赖于 $k$ 中的除法. 这说明了向量空间比起一般的模甚至是一般的自由模都更为简单的原因之一.

接下来, 我们可以证明这一部分的主要结论:

定理 1.2.4.3. 有限维向量空间必有基.

证明. 设 $V$ 为一有限维 $k$ -向量空间. 根据定义, 可知 $V$ 有一有限生成集 $S \subseteq V$ . 只要重复以下步骤即可得到 $V$ 的一组基:

1.	观察 $S$ 是否线性无关. 若 $S$ 线性无关, 则 $S$ 是 $V$ 的一组基;
2.	若 $S$ 是线性相关的, 那么由引理 1.2.4.1 可知, 可以从 $S$ 中删除一个元素 $v$ 使得 $S$ 仍然是 $V$ 的生成集;
3.	重复这一过程, 直到 $S$ 线性无关或者被取尽.

最后

S

一定是一组基.

$□$

更进一步, 如果假设选择公理, 则我们有下列命题:

定理 1.2.4.4. 所有向量空间都有基.

由于无限维的情况证明较为繁琐, 我们将其附于附录.

定义 1.2.4.5 (向量空间的维度). 向量空间的维度 (维数, dimension) 为其一组基的基数.

可见向量空间的维度就是其作为自由模的秩; 我们刚刚已经说明所有向量空间都是自由模, 并且前面已经说明交换环上的自由模的秩与基的选择无关, 因此我们知道每个向量空间都有唯一的确定的维度.

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1.2. 线性相关、自由模、有限生成模与维度

1.2.1线性组合与线性相关性

1.2.2自由模

1.2.3有限生成模

1.2.4有限维向量空间的基