1.1. 环、域、模、向量空间和代数

1.1.1环和域

在学习线性代数之前, 我们需要定义线性代数的基本研究对象: 环 (ring) 上的模 (module) . 此时已经学习过线性代数的读者可能会有些诧异: 线性代数研究的不是向量空间 (vector space) 吗? 没错, 但同时请大家注意到, 线性空间只不过是域上的模而已. 由于域的特殊性, 向量空间的结构比一般的模简单得多, 但在此讲义中, 我们会尽可能一般地讲述模的性质.

我们先从环和域开始.

定义 1.1.1.1 (环). 一个环是一个五元组 $(R,+,\cdot ,0,1)$, 其中 $R$ 是一个集合, $+$ 和 $\cdot$ 是 $R$ 上的二元运算 (即我们有: $+,\cdot :R\times R\to R$) , $0,1\in R$ 分别称为 $R$ 的加法单位元和乘法单位元. 进一步, 该五元组满足以下的条件:

1.	$(R,+,0)$ 构成一个阿贝尔群, 即: 1a. (加法结合律) 对于所有 $x,y,z\in R$, 有 $x+(y+z)=(x+y)+z$; 1b. (加法单位元) 对于所有 $x\in R$, 有 $0+x=x+0=x$; 1c. (加法逆元) 对于所有 $x\in R$, 存在一个 $y\in R$ 使得 $x+y=y+x=0$. 我们一般将满足此条件的 $y$ 记为 $-x$; 1d. (加法交换律) 对于所有 $x,y\in R$, 有 $x+y=y+x$;
2.	$(R,\cdot ,1)$ 构成一个幺半群, 即: 2a. (乘法结合律) 对于所有 $x,y,z\in R$, 有 $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$; 2b. (乘法单位元) 对于所有 $x\in R$, 有 $1\cdot x=x\cdot 1=x$; 若不引起混淆, 我们也经常省略 $x\cdot y$ 中间的乘号 ($\cdot$) , 直接将其记为 $xy$, 如同在初等代数中一样;
3.	(左分配律) 对于所有 $x,y,z\in R$, 有 $x(y+z)=xy+xz$;
4.	(右分配律) 对于所有 $x,y,z\in R$, 有 $(x+y)z=xz+yz$.

满足这些条件的五元组称为环 (ring) . 在不引起混淆时, 我们也常常直接用 $R$ 表示这个环.

例 1.1.1.2. 最常见的数的集合, 除了 $\mathbb{N}$ 以外, 都在通常意义上的加法和乘法下构成环: 比如 $\mathbb{Z}$ (全体整数) 、$\mathbb{Q}$ (全体有理数) 、$\mathbb{R}$ (全体实数) 和 $\mathbb{C}$ (全体复数) .

例 1.1.1.3. 所有从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数构成一个环. 注意到函数的加法和乘法都是逐点定义的. 进一步, 将 “连续” 换成 “可微” 或 “光滑”, 该命题仍然成立.

证明. 证明该命题需要的结论, 想必都在高等数学或数学分析课上学过了.

$\square$

注意到我们要求环满足的条件里并不包括乘法交换律. 当然, 它在我们刚举的两个例子中都是成立的. 满足乘法交换律的环叫做交换环. 我们所熟悉的环大多数都是交换环, 但也有一些相当重要的环不是交换的. 接下来, 我们给出交换环的定义和一个非交换环的例子.

定义 1.1.1.4 (交换环). 设 $R$ 是一个环. 如果对于所有 $x,y\in R$, 都有 $xy=yx$, 则称 $R$ 为交换环 (commutative ring) .

例 1.1.1.5. 显而易见, $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 都是交换环.

例 1.1.1.6. 略通线性代数的读者应该知道, $\mathbb{R}$ (或 $\mathbb{C}$) 上的所有 $n\times n$ 矩阵构成一个环, 我们记作 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ (或 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$) . 这里加法逐元素定义, 乘法则是通常的矩阵乘法. 这个环是一个非交换环, 因为略通线性代数的读者都熟知, 矩阵乘法不是交换的.

例 1.1.1.7. 令 $R$ 为一交换环. 我们定义 $R$ 上的一元多项式环 (记为 $R[x]$, 其中 $x$ 是变量名, 可以任意设定) 为所有如下形式的多项式: $$f=\sum _{i=\mathrm{1...}n}^n{a}_i{x}^i=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$$构成的环. 其中 $a_i\in R$. 这里多项式加法和乘法的规则与读者在初等代数中所学的完全相同. 不难验证 $R[x]$ 也是一个交换环.

使得 $a_i\ne 0$ 的最大的 $i$, 称为 $f$ 的次数 (degree) .

多项式可以在任何 $p\in R$ 处求值, 规则和初等代数中所学也完全相同, 即: $f(p)=a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}+...+a_{1}p+a_0\in R$ (这里, $p^n$ 表示 $p\cdot p\cdot ...\cdot p$ 总共相乘 $n$ 次) . 不难看出, 任取一个 $p\in R$, 则多项式求值定义了一个从 $R[x]$ 到 $R$ 的函数 ($f\mapsto f(p)$) ¹.

更进一步, 我们还可以定义多元多项式环 $R[x,y,...]$, 定义与一元多项式环类似, 留作读者练习.

我们注意到, 环上有乘法, 但不一定有除法. 比如在 $\mathbb{Z}$ 上, 除法就不是良定义的, 因为两个整数相除并不一定得到另一个整数. 但是在 $\mathbb{Q}$ 上, 除法是良定义的, 因为两个有理数相除一定可以得到另一个有理数. 这引出我们下面的定义:

定义 1.1.1.8 (除环). 设 $R$ 是一个环 (不必交换) . 如果对于所有 $x\in R\backslash \{0\}$, 都存在一个 $y\in R$, 使得 $xy=yx=1$, 则称 $R$ 为除环 (division ring) . 满足该条件的 $y$, 我们通常记作 $x^{-1}$.

如同在初等代数中, 我们可以如下定义 (右) 除法: $x/y=x\cdot y^{-1}$.

更一般地:

定义 1.1.1.9 (可逆元). 设 $R$ 是一个环 (不必交换) . 如果一个元素 $u\in R$ 满足如下性质: 存在一个 $v\in R$ 使得 $uv=vu=1$, 则称 $u$ 为可逆元 (unit) . 若 $u$ 是可逆元, 则我们称使其满足该性质的 $v$ 为 $u$ 的乘法逆元 (multiplicative inverse) , 也记作 $u^{-1}$.

这样, 我们也可以把除环的定义复述如下: 除环就是所有非零元素都是可逆元的环. 不难看出如果一个元素 $u$ 是可逆元, 显然其乘法逆元 $u^{-1}$ 也是可逆元.

注意到, 一般来说, 在一个除环里, 加法逆元 $0$ 是没有乘法逆元的. 事实上, 不难验证, 如果一个环里 $0$ 有乘法逆元, 那么该环里所有元素都等于 $0$. 这也是唯一一个允许 $0$ 有逆元的情况.

例 1.1.1.10. 令 $R=\{0\}$ 为只有一个元素 $0$ 的集合, 定义加法和乘法如下: $0+0=0$, $0\cdot 0=0$. 不难看出 $0$ 既是加法单位元也是乘法单位元, 也不难验证 $R$ 是一个环, 我们通常将其记作 $0$, 并称之为平凡环 (trivial ring) 或零环 (zero ring) .

零环是一个除环, 也是唯一一个 $0$ 有乘法逆元的环、$1=0$ (加法单位元也是乘法单位元) 的环.

交换的除环称为域 (field) , 但我们一般不认为零环是域. 我们一般用字母 $F$、$K$ 或 $k$ 表示域.

例 1.1.1.11. $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 都是域.$\mathbb{Z}$ 不是域, 因为 $\mathbb{Z}$ 中只有 $1$ 和 $-1$ 有乘法逆元.

例 1.1.1.12. 对于几乎任何交换环 $R$, $R[x]$ 都不是域. 尤其, 如果我们考虑域 $k$ 上的多项式环 $k[x]$, 则 $k[x]$ 一定不是域, 因为从初等代数的知识可知, 只有常多项式会有乘法逆元. 但是, 我们可以将 $k[x]$ 扩大成一个域, 其构造如下:

考虑所有形式分数$$\frac{f}{g},$$的集合 (其中 $g\ne 0$) , 其中 $f,g\in k[x]$. 我们在该集合上定义一等价关系 $\sim$ 如下: $$\frac{f}{g}\sim \frac{p}{q}$$当且仅当 $fq-pg=0$. 我们取该集合在 $\sim$ 下的等价类, 并定义加法和乘法如下: $$\frac{f}{g}+\frac{p}{q}=\frac{fq+gp}{gq},$$$$\frac{f}{g}\frac{p}{q}=\frac{fp}{gq}.$$注意到这和初等代数中分式的运算法则完全相同.

不难证明这是一个域 (提示: 如同初等代数中一样, $f/g$ 的乘法逆元是 $g/f$) ; 我们通常将其记作 $k(x)$, 并将其称作 $k$ 上的有理分式域 (field of rational functions) ².

1.1.2环同态

令 $R$ 和 $S$ 为任两个环. 自然, 我们想研究 $R$ 到 $S$ 的函数. 然而, 有一些函数 “破坏” 了环的结构, 我们考虑这些函数是无意义的. 因此, 我们只考虑保持环结构的函数, 称之为环同态.

定义 1.1.2.1 (环同态). 设 $R$ 和 $S$ 为环. 考虑函数 $f:R\to S$; 当 $f$ 满足下列条件时, 我们称 $f$ 是 $R$ 到 $S$ 的环同态 (ring homomorphism) :

1.	($f$ 保持 $+$) 对于任何 $x,y\in R$, 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$;
2.	($f$ 保持 $\cdot$) 对于任何 $x,y\in R$, 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$;
3.	($f$ 保持 $1$) $f(1_R)=1_S$, 其中 $1_R$ 和 $1_S$ 分别是 $R$ 和 $S$ 里的乘法单位元.

若无另行说明, 当我们已知 $R$ 和 $S$ 是环时, 若我们记 $f:R\to S$, 都默认 $f$ 是环同态.

注意我们没有要求 $f$ 保持 $0$, 因为这是多余的 (具体原因留给读者思考) .

如果一个环同态是双射, 那么我们称其为环同构 (ring isomorphism) . 如果环 $R$ 和 $S$ 同构, 我们记为 $R\cong S$, 在不引起混淆的前提下我们有时也直接记作 $R=S$.

例 1.1.2.2. 多项式求值的操作定义了一个环同态. 令 $R$ 为一交换环, 并令 $a\in R$, 则在 $a$ 处的多项式求值操作定义了一个从 $R[x]$ 到 $R$ 的函数 ($f\mapsto f(a)$) . 不难验证这是个环同态.

命题 1.1.2.3. 群同态保持可逆性. 对于任意环 $R,S$ 和 $f:R\to S$, 若 $x\in R$ 是可逆元, 则 $f(x)$ 也是可逆元. 更进一步, $f(x^{-1})=f(x{)}^{-1}$.

证明. 留作练习.

$\square$

1.1.3子环、理想和商环

在这一节里, 我们描述一些环论中最基本的构造.

子环

如同更一般的集合之间存在包含关系一样, 我们不难发现环之间也有包含关系, 如 $\mathbb{Q}$ 包含了 $\mathbb{Z}$, $R[x,y]$ 包含了 $R[x]$ 等等. 下面我们给出一个更严格的定义.

定义 1.1.3.1 (子环). 设 $R$ 是一个环, $S\subset R$ 是 $R$ 的子集. 如果 $S$ 满足这些条件, 则称 $S$ 为 $R$ 的 子环 (subring) :

1.	$0,1\in S$;
2.	($S$ 对 $+$ 闭合) 若 $x,y\in S$, 则 $x+y\in S$;
3.	($S$ 对 $\cdot$ 闭合) 若 $x,y\in S$, 则 $xy\in S$.

若 $S$ 是 $R$ 的子环, 那么 $S$ 本身当然也是一个环, 其加法、乘法运算和加法、乘法逆元都和 $R$ 上的完全相同. 子环关系没有标准的记法; 若 $S$ 是 $R$ 的子环, 我们有时记为 $S\le R$; $S\hookrightarrow R$ 的记法也相当常见. 如果已知 $S$ 和 $R$ 都是环, 我们还常常直接记为 $S\subseteq R$.

不难看出, 子环关系是传递性的: 如果 $T$ 是 $S$ 的子环, $S$ 是 $R$ 的子环, 则 $T$ 当然也是 $R$ 的子环. 我们常常将这种关系记为 $T\subseteq S\subseteq R$ (或换成前面提到的任何一种记法) .

例 1.1.3.2. 我们有如下的子环关系: $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$.

例 1.1.3.3. 令 $R$ 为一交换环. 则我们有如下的子环关系: $R\subseteq R[x]\subseteq R[x,y]\subseteq ...$ (注意到常数, 即 $R$ 的元素, 可以看作 $R$ 上的零元多项式) .

我们还有一种更简洁的方式定义子环, 与前面的定义等价, 至多相差一个环同构:

定义 1.1.3.4. 设 $R$ 是一个环. 我们定义 $R$ 的子环为一个二元组 $(S,\iota )$, 其中 $S$ 是一个环, $\iota :S\to R$ 是一个单射的环同态.

命题 1.1.3.5. 设 $R$ 是一个环, 则定义 1.1.3.4 意义下的子环一定同构于一个定义 1.1.3.1 意义下的子环. 换言之, 两个定义等价, 至多相差一个环同构.

证明. 取 $\iota$ 在 $R$ 中的像, 并注意到一个集合和其在一个单射下的像之间存在双射, 即证.

$\square$

理想

“理想” 这个名字可能显得十分突兀, 所以在给出其定义之前, 让我们先考虑一个例子.

例 1.1.3.6. 考虑所有偶数组成的集合. 我们观察到:

•	偶数之间作和差, 仍然是偶数;
•	偶数与任何整数相乘, 仍然是偶数.

更一般地, 考虑任何整数 $n$; $n$ 的倍数构成的集合总满足这两个性质. 反之, 奇数的集合就缺乏这两项性质.

具有这种性质的集合便是理想. 它们在环论中至关重要.

定义 1.1.3.7 (理想). 设 $R$ 是一个环, $I\subseteq R$ 是 $R$ 的一个子集 (注意: 不一定是子环) . 如果 $I$ 满足以下条件, 则称 $I$ 为 $R$ 的左理想 (left ideal) :

1.	$(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群, 即: 1a. $0\in I$ 1b. 对于任何 $x,y\in I$, 都有 $x+y\in I$; 1c. 对于任何 $x\in I$, 都有 $-x\in I$;
2.	对于任何 $r\in R$ 和 $x\in I$, 都有 $rx\in I$.

如果将条件 2 中的 $rx$ 换为 $xr$, 则称 $I$ 为 $R$ 的右理想 (right ideal) . 如果 $I$ 既是左理想也是右理想, 则称 $I$ 为 $R$ 的双边理想 (two-sided ideal) , 或简称理想 (ideal) .

有时, 我们将 “$I$ 是 $R$ 的 (左) 理想” 记为 $I⊲R$.

显然, 交换环的所有左、右理想都是双边理想, 非交换环则不然.

例 1.1.3.8. 令 $n\in \mathbb{Z}$. 则 $n$ 的倍数所构成的集合 $\{nr|r\in \mathbb{Z}\}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想; 我们通常将其记作 $n\mathbb{Z}$.

例 1.1.3.9. 考虑任何交换环 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵环 $R^{n\times n}$. 熟悉矩阵乘法的读者可以验证如下的事实: 设 $1\le j\le n$, 则第 $j$ 列全为 $0$ 的矩阵构成 $R$ 的左理想, 但不是右理想.

给定任何 $R$ 的子集 $S$, 我们都能通过将 $S$ 的元素与 $R$ 的所有元素相乘而从 $S$ 构造出一个理想:

定义 1.1.3.10 (集合生成的理想). 设 $R$ 是一个环, 并令 $S\subset R$ 为 $R$ 的任意子集. 我们定义 $S$ 生成的 (左) 理想 ((left) ideal generated by $S$) 为所有形如$$\sum _{s\in S,r\in R}rs$$的元素构成的集合. 不难验证这是一个 $R$ 的左理想. 我们一般将这个理想记为 $(S)$.

命题 1.1.3.11. $(S)$ 是包含 $S$ 的最小左理想. 换言之, $$(S)=\bigcap _{S\subset I}\{I\mid I⊲R\}$$

证明. 略去.

$\square$

定义 1.1.3.12 (有限生成理想、主理想). 如果 $I=(S)$, 且 $S$ 是一个有限集合, 则称 $I$ 为有限生成理想 (finitely generated ideal) . 更进一步, 若 $S$ 是单元素集合, 称 $I$ 为主理想 (principal ideal) .

例 1.1.3.13. 对所有 $n$, $n\mathbb{Z}$ 都是主理想, 因为 $n\mathbb{Z}=(n)$.

商环

让我们先考虑以下两个例子.

例 1.1.3.14. 设 $n>1$ 为任意整数, 考虑所有整数模 $n$ 的同余类. 更详细地, 对任意 $a,b\in \mathbb{Z}$, 若存在 $k\in \mathbb{Z}$ 使得 $a-b=kn$, 则称 $a$ 和 $b$ 模 $n$ 同余, 记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$. 例如, 我们有 $5\equiv 31(\mathrm{mod}13)$.

由简单算术可知, 我们可以取一个 (通常是介于 0 和 $n$ 之间的) 整数 $a$, 代表所有模 $n$ 与 $a$ 同余的整数, 称作 $a$ 的同余类, 记作 $[a]$.

若 $a\equiv c(\mathrm{mod}n)$, $b\equiv d(\mathrm{mod}n)$, 可以观察到如下事实 (读者可以自行证明) :

•	$a+b\equiv c+d(\mathrm{mod}n)$;
•	$ab\equiv cd(\mathrm{mod}n)$.

这告诉我们, 同余类是可以相加、相乘的; 换言之, 我们可以定义: $[a]+[b]=[a+b]$, $[a]\cdot [b]=[ab]$, 而之前观察到的事实告诉我们这是良定义的. 更进一步, 整数模 $n$ 的同余类构成一个环.

例 1.1.3.15. 考虑 $\mathbb{R}$ 上的多项式环 $\mathbb{R}[x]$. 我们给其加上一个条件: $x^2+1$“视同”0. 换言之, 出现 $x^2+1$ 之处, 全部由 $0$ 代替 (或者 $x^2$ 都用 $-1$ 代替) , 例如: $x^3+x^2+2x+1=(x+1)(x^2+1)+x=x$. 更进一步, 不难发现, 在此条件下, 所有多项式都形如 $ax+b$.

很显然, 这正是复数的运算法则. 换言之, 复数的加法和乘法都可以通过将复数视为一个单变量的实多项式, 并将所有出现 $i^2+1$ 之处都用 $0$ 代替而得到.

这两个例子中, 我们都从一个环中 “模去” 了一个理想, 即将该理想的元素都 “视为”0: 在第一个例子里, 我们模去了 $n\mathbb{Z}$, 而在第二个例子中我们模去了 $(x^2+1)$. 我们可以更严格地定义这种操作:

定义 1.1.3.16 (商环). 设 $R$ 是一个环, $I$ 是 $R$ 的一个两边理想. 在 $R$ 上定义一等价关系 $\sim$: $a\sim b$ 当且仅当 $a-b\in I$. 不难看出, 若 $r\sim r^{\prime }$, $s\sim s^{\prime }$, 则 $r+s\sim r^{\prime }+s^{\prime }$ 且 $rs\sim r^{\prime }{s}^{\prime }$.

接着, 我们可以取 $\sim$ 在 $R$ 中的等价类: $a\in R$ 的等价类定义为 $[a]=a+I=\{a+r\mid r\in I\}$. 我们将这些等价类的集合记为 $R/I$, 并在其上定义加法和乘法运算: $[a]+[b]=[a+b]$, $[a]\cdot [b]=[ab]$. 由上面的观察, 我们知道这是良定义的. 进一步, 我们可以验证 $R/I$ 构成一个环 (其加法逆元和乘法逆元分别为 $[0]$ 和 $[1]$) ; 我们称这个环为 $R$ 模 $I$ 的商环 (quotient ring) .

例 1.1.3.17. 在刚才的例子中, 我们分别定义了商环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$.

1.1.4模和向量空间

现在, 我们终于能够定义线性代数中最基本的研究对象: 模.

定义 1.1.4.1 (模). 设 $R$ 是一个环, 则一个左 $\mathbf{R}$-模 (left $R$-module) 是一个四元组 $(M,+,0,\cdot )$, 其中 $+:M\times M\to M$ 和 $\cdot :R\times M\to M$ 是二元运算 (分别称为 $\mathbf{M}$ 上的加法和标量乘法) , $0\in M$ 称为 $M$ 的加法零元, 使得其满足以下条件:

1.	$(M,+,0)$ 构成一个阿贝尔群;
2.	(左分配律) 对于任何 $r\in R$, $x,y\in M$, 都有 $r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$;
3.	(右分配律) 对于任何 $r,s\in R$, $x\in M$, 都有 $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$;
4.	对任何 $r,s\in R$, $x\in M$, 都有 $r\cdot (s\cdot M)=(rs)\cdot M$;
5.	若 $1$ 是 $R$ 的乘法单位元, 则对任意 $x\in M$ 都有 $1\cdot x=x$.

如果交换标量乘法中 $R$ 和 $M$ 的顺序, 则称之为一个右 $\mathbf{R}$-模 (right $R$-module) .

不难看出, 任何左 $R$-模都可以通过交换运算次序看作一个右 $R$-模, 因此我们一般只考虑左 $R$-模. 另外, 若 $R$ 是交换环, 则左、右 $R$-模没有任何区别, 所以将其直接称作 $R$-模 ($R$-module) , 或者 $R$ 上的模 (module over $R$) .

如同环乘法一样, 在标量乘法中我们也经常省略乘号 $\cdot$, 将 $r\cdot x$ 写作 $rx$. 由上面的条件 4 可知, 省略乘号并不会造成任何混淆.

事前已经略通线性代数的读者可以看出, 定义 1.1.4.1 实际上跟常见的向量空间的定义没有任何区别. 其唯一的区别在于, 向量空间的定义中要求 $R$ 是一个域, 而不仅仅是一个环.

定义 1.1.4.2 (向量空间). 若 $K$ 是一个域, 则 $K$ 上的模称为 $\mathbf{K}$-向量空间 ($K$-vector space) .

首先, 我们不难看出, 子环和理想都是模:

命题 1.1.4.3. 设 $R$ 是一个环, $S\subseteq R$ 是其一个子环. 则 $S$ 是一个左 $R$-模 (也是右 $R$-模 ³) .

证明. $S$ 上的加法即其作为环的加法, 其作为模的标量乘法即 $R$ 中的乘法.

$\square$

命题 1.1.4.4. 设 $R$ 是一个环, $I$ 是 $R$ 的一个左 (或右) 理想, 则 $I$ 是一个左 (或右) $R$-模.

证明. 留作练习.

$\square$

稍微熟悉线性代数的读者都知道, 欧氏空间是线性代数中最基本的例子. 在此也不例外, 只不过我们的例子更一般一些:

例 1.1.4.5. 设 $R$ 是一个环, 则 $R^n=\{(x_1,x_2,...,x_n)\mid x_i\in R\}$ 是一个左 $R$-模 (也是右 $R$-模) . 加法和标量乘法都逐元素定义.

1.1.5结合代数

最后, 让我们定义一类特定的模. 在我们的讲义里并不会常用到这一类模, 但这类模在交换代数和代数几何中至关重要.

定义 1.1.5.1 (结合代数). 设 $R$ 是一个交换环. 一个 $\mathbf{R}$-结合代数 ($R$-associative algebra, 或曰 $\mathbf{R}$-代数, $R$-algebra) 是一个环 $A$, 使得其满足下列条件:

1.	$A$ 是一个 $R$-模, 且 $A$ 上的模加法和环加法是相同的运算;
2.	对任何 $r\in R$, $x,y\in A$ 都有: $r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)$.

如同在一般模的情况, 这里我们也经常略去标量乘法的乘号; 条件 2 告诉我们这不会引起混淆.

例 1.1.5.2. 令 $R$ 为任意交换环, $R^{n\times n}$ 为 $R$ 上的 $n\times n$ 矩阵环. 不难看出 $R^{n\times n}$ 是一个 $R$-代数.

1.1.6线性映射

正如我们可以定义保持环结构的函数, 我们也可以定义保持模结构的函数.

定义 1.1.6.1 ($R$-线性映射). 设 $R$ 是一个环, $M,N$ 为左 $R$-模. 满足下列条件的函数 $f:M\to N$ 称为 $R$-模同态 ($R$-module homomorphism) , 或曰 $\mathbf{R}$-线性映射 ($R$-linear map) :

1.	对任何 $x,y\in M$, 都有 $f(x)+f(y)=f(x+y)$;
2.	对任何 $r\in R$, $x\in M$, 都有 $f(rx)=r\cdot f(x)$.

若 $M,N$ 是右 $R$-模, 交换标量乘法的次序即可.

略通线性代数的读者应该已经发现, 这和常见的线性映射定义完全相同: 当然, 我们已经知道, 这不足为奇, 因为向量空间不过是域上的模. 若 $M,N$ 都是左 $R$-模, 我们通常记所有 $M$ 到 $N$ 的 $R$-线性映射的集合为 ${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$ (如果 $R$ 可以从上下文清楚了解, 也简记为 $\mathrm{Hom}(M,N)$) .

命题 1.1.6.2. ${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$ 构成阿贝尔群. 更进一步, 如果 $R$ 是交换环, 则 ${\mathrm{Hom}}_R(M,N)$ 是 $R$-模.

证明. 留待读者自行验证.

$\square$

若 $f$ 作为函数是单射, 我们将其称为单映射或单同态 (monomorphism) ; 若 $f$ 作为函数是满射, 我们将其称为满映射 (同态) (epimorphism) . 在之后范畴论一讲, 我们会看到单 (满) 同态和简单的单 (满) 射函数的区别; 在此我们不做区别.

与环同态类似, 如果 $f$ 作为函数是双射, 那么我们将其称为一个同构, 也称 $M$ 和 $N$ 同构, 同样记作 $M\cong N$ 或 $M=N$ (若不会产生混淆). 在线性代数中, 同构的模没有 “区别”, 我们可以认为同构的模都是相同的模, 因此也记为 $M=N$.

1.	^ 实际上, 这不仅是一个函数, 还是一个环同态. 我们稍后将会讲到环同态.
2.	^ 更一般地, 这一构造还能推广到任何交换环上, 称为该交换环的局部化 (localization), 但任意交换环的局部化不一定是域. 局部化是交换代数和代数几何中最基本也最重要的构造之一, 但超出了本讲义的范围. 有兴趣的读者可参阅相关文献, 如: D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, ch. 2, 或李文威《代数学方法》节 5.3.
3.	^ 当然, 要注意到, $S$ 作为左 $R$-模和右 $R$-模的结构并不相同.