1.8. 基与矩阵

1.8.1矩阵演算
1.8.2矩阵的加法和乘法
1.8.3向量空间里的矩阵代数

1.8.1矩阵演算

设 $C$ 为一有有限双积的范畴, $X, Y \in C$ 且 $X, Y$ 都能写成如下形式的双积 (直和) 分解: $X Y = j \in J ⨁ X_{j} = i \in I ⨁ Y_{i} .$

很自然地, 给定一个态射 $f : X \to Y$ , 我们希望能将 $f$ 也分解为一族态射 ${f_{ij} : X_{j} \to Y_{i}}$ 并为其找到一个良好的表示. 其中, 最好的表示形式莫过于矩阵 (matrix).

矩阵想必读者都已经较为熟悉, 在我们这里固定一些术语: 一个 $m \times n$ 矩阵是指一个 $m \times n$ 的二维矩形数 (或表达式) 表, 横向称为 " 行 " (row), 纵向称为 " 列 " (column).

首先, 我们确定, 对于任何一对确定的双积分解, 每个态射 $f : X \to Y$ 都能表示为唯一的一族 ${f_{ij}}$ .

命题 1.8.1.1. 设 $C$ 是一有有限双积的范畴, $X, Y \in C$ 且 $X = \oplus_{j \in J} X_{j}, Y = \oplus_{i \in I} Y_{i}$ . 那么 $f$ 唯一确定一族 ${f_{ij} : X_{i} \to Y_{j}}$ . 反之亦然.

证明. 给定任意 $f : X \to Y$ , 我们可令 $f_{ij} = π_{i} \circ f \circ ι_{j}$ , 其中 $π_{i} : Y \to Y_{i}$ 是典范投影态射, $ι_{j} : X_{j} \to X$ 是典范包含态射. 由积和余积的定义, 显然 $f_{ij}$ 由直和分解唯一确定.

下面, 我们不失一般性 (w.l.o.g.) 地假设 $I = J = {1, 2}$ . 接着, 我们给定一族 ${f_{ij} : X_{j} \to Y_{i} ∣ i, j = 1, 2}$ . 由余积的万有性质, 不难知道 $f_{11} : X_{1} \to Y_{1}$ 和 $f_{12} : X_{2} \to Y_{1}$ 唯一确定一个 $X$ 到 $Y_{1}$ 的态射, 我们记为 $f_{1 *} = [f_{11} ∣ f_{12}]$ . 同理可知, 我们也有一个典范的 $X \to Y_{2}$ 的态射, 可记为 $f_{2 *} = [f_{21} ∣ f_{22}]$ .

接着, 我们由积的万有性质, 不难知道 $f_{1 *} : X \to Y_{1}$ 和 $f_{2 *} : X \to Y_{2}$ 可以唯一确定一个态射 $f : X \to Y$ . 这个态射, 我们记为: $[f_{11} f_{21} f_{12} f_{22}]$

可以看出, 这一过程可以被递归地重复: 如果

X_{1}, Y_{1}

可以进一步直和分解, 那么

f_{11}, f_{12}, f_{2}

自身也可以再被分解成矩阵.

$□$

由此可见, 对一个半加法范畴 (有限双积范畴) 中的对象 $X, Y$ , $X$ 到 $Y$ 之间的态射和 $X_{j}$ 到 $Y_{i}$ 之间的态射族 ${f_{ij}}$ 存在一一对应. 那么我们也可以说, 任一态射 $f : X_{j} \to Y_{i}$ 在给定的双积分解 $X = \oplus_{1 \leq j \leq m} X_{j}, Y = \oplus_{1 \leq i \leq n} Y_{i}$ 下对应唯一的表示 $⎣ ⎡ f_{11} f_{21} ⋮ f_{m 1} f_{12} f_{22} ⋮ f_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots f_{1 n} f_{2 n} ⋮ f_{mn} ⎦ ⎤$

我们将该矩阵称为 $f$ 的矩阵表示.

接下来, 我们计算一些常见态射的矩阵表示. 以下, 我们设 $A$ 是阿贝尔范畴, $X, Y \in A$ 且 $X = \oplus_{1 \leq i \leq m} X_{i}, Y = \oplus_{1 \leq j \leq n} Y_{j}$ .

命题 1.8.1.2. $0_{X Y}$ 可表示为 $m \times n$ 的全零矩阵.

证明. 我们知道

0_{X Y}

是通过零对象

0

的映射, 即

0_{X Y} = X \to 0 \to Y

. 那么显然,

(0_{X Y})_{ij} = π_{i} \circ 0_{X Y} \circ ι_{j} = X_{j} \to X \to 0 \to Y \to Y_{i}

也通过

0

, 所以

(0_{X Y})_{ij}

对应

{0_{X_{i} Y_{j}}}

.

$□$

在矩阵演算中, 我们一般直接用阿拉伯数字 $0$ 表示零态射 $0_{X_{i} Y_{j}}$ , 用 $1$ 表示单位态射 $1_{X_{i}}$ .

命题 1.8.1.3. 单位态射 $1_{X} : X \to X$ 可以表示为 $m \times m$ 单位矩阵 $I_{m} = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 01 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1 ⎦ ⎤$

证明. 我们可以计算: 若 $i = j$ , 则 $(1_{X})_{ii} = π_{i} \circ 1 \circ ι_{i} = π_{i} \circ ι_{i}$ . 由双积的性质知 $π_{i} \circ ι_{i} = 1_{X_{i}}$ .

若

i \neq = j

, 则

(1_{X})_{ij} = π_{i} \circ ι_{j}

, 在此不做证明, 但可证明这必定等于

0

.

$□$

1.8.2矩阵的加法和乘法

设 $M, N$ 是两个矩阵, 其元素取值于一个阿贝尔群中. 我们定义矩阵的加法和乘法如下:

定义 1.8.2.1 (矩阵的加法). 若 $M, N$ 都是 $m \times n$ 矩阵, $M = [a_{ij}], N = [b_{ij}]$ , 则定义 $M + N = [(a + b)_{ij}]$ .

命题 1.8.2.2. 设 $A$ 是阿贝尔范畴, 并有 $X, Y \in A$ , $f, g : X \to Y$ . 那么给定任意直和分解, $f + g$ 的矩阵表示是 $f$ 和 $g$ 的矩阵表示之和.

证明. 我们证明 $f_{ij} + g_{ij} = (f + g)_{ij}$ 即可.

由态射复合的线性, 我们有:

π_{i} \circ f \circ ι_{j} + π_{i} \circ g \circ ι_{j} = π_{i} \circ (f \circ ι_{j} + g \circ ι_{j}) = π_{i} \circ ((f + g) \circ ι_{j}) = (f + g)_{ij} .

$□$

若 $M$ 是 $m \times n$ 矩阵, $N$ 是 $n \times p$ 矩阵, 且 $M = [a_{ij}], N = [b_{ij}]$ , 其中 $a_{ij} \in A, B_{ij} \in B$ . 进一步, 设有一二元运算 $\cdot : A \times B \to C$ , 其中 $C$ 是另一阿贝尔群. 我们将该运算称为 “乘法”, $a \cdot b$ 又记为 $ab$ .

我们定义 $M$ 和 $N$ 的积 $M \times N = MN$ 为 $m \times p$ 矩阵 $P$ , 使得: $P_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{kj} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + ... + a_{in} b_{nj}$

命题 1.8.2.3. 设 $A$ 是阿贝尔范畴, $X, Y, Z \in A$ . 若 $f : X \to Y$ , $g : Y \to Z$ , 那么在给定的双积分解下, $g \circ f$ 的矩阵表示是 $g$ 和 $f$ 矩阵表示之积, 其中乘法由态射复合给出.

证明. 设 $X = \oplus_{1 \leq j \leq p} X_{j}, Y = \oplus_{1 \leq k \leq n} Y_{k}, Z = \oplus_{1 \leq i \leq m} Z_{i}$ . 令 $g = {g_{ik}}, f = {f_{kj}}$ . 那么我们需要证明: $(g \circ f)_{ij} = k = 1 \sum n g_{ik} f_{kj} .$

为简单起见, 我们 w.l.o.g. 地假设 $m = n = p = 2$ . $= = = = π_{i} \circ (g \circ f) \circ ι_{j} π_{Z, i} \circ g \circ 1_{Y} \circ f \circ ι_{j} π_{Z, i} \circ g \circ (ι_{Y, 1} \circ π_{Y, 1} + ι_{Y, 2} \circ π_{Y, 2}) \circ f \circ ι_{X, j} π_{Z, i} \circ g \circ ι_{Y, 1} \circ π_{Y, 1} \circ f \circ ι_{X, j} + π_{Z, i} \circ g \circ ι_{Y, 2} \circ π_{Y_{2}} \circ f \circ ι_{X, j} g_{i 1} \circ f_{1 j} + g_{i 2} \circ f_{2 j}$

上述证明可以归结为下面的等式: 对于任意阿贝尔范畴 $A$ , $X \in A$ , 若 $X = \oplus_{1 \leq i \leq n} X_{i}$ , 则 $1_{X} = i = 1 \sum n ι_{i} \circ π_{i} .$

该等式我们在此不做证明, 但在 Mac Lane 的 Categories for the Working Mathematician 等参考书中可以找到.

$□$

定义 1.8.2.4. 设 $A$ 是元素取值于环的 $n \times n$ 方阵. 若存在另一元素取值于同一环的方阵 $B$ 使得 $A B = B A = I_{n}$ , 其中 $I_{n}$ 是 $n \times n$ 单位矩阵, 则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵 (inverse matrix).

命题 1.8.2.5. 设 $A$ 是阿贝尔范畴, 并有 $X, Y \in A$ , $f : X \to Y$ . 如果 $f$ 有逆态射, 则其矩阵表示和 $f$ 互为逆矩阵. 反之, 如果 $f$ 的矩阵表示有逆矩阵, 则该矩阵对应 $f$ 的逆态射.

证明. 由矩阵和态射的一一对应、态射复合和矩阵乘法的对应, 以及单位态射的矩阵表示是单位矩阵可知.

$□$

推论 1.8.2.6. 设 $R$ 为交换环, 则取值于环 $R$ 的全体 $n \times n$ 方阵构成 $R$ 上的代数, 记为 $Mat (R, n)$ . 特别地, 所有取值于 $R$ 的可逆方阵构成群, 称为一般线性群 (general linear group), 记为 $GL (R, n)$ ; 如果 $R$ 由上下文明确可知, 又简记为 $GL (n)$ .

1.8.3向量空间里的矩阵代数

设 $R$ 是环, $M, N$ 是有限生成的自由 $R$ -左模. 那么, 它们必然各同构于一族 $R$ 的直和: $M N ≅ 1 \leq j \leq m ⨁ R ≅ 1 \leq i \leq n ⨁ R .$

注意双积是范畴构造, 所以是在同构意义下唯一的. 换言之, 可能有多个这样的同构. 我们知道, 选取这样的一个同构等价于给 $M, N$ 各选取一组基底. 这里, 我们采取有序基: 不妨将其设为 $(r_{j})$ 和 $(s_{i})$ . $Mod_{R}$ 是阿贝尔范畴, 所以可以在其中使用矩阵运算.

那么, 我们知道, 选定一组基后, 任何 $f : M \to N$ 都有唯一的矩阵表示. 另一方面, 我们知道线性映射被其对基元素的作用唯一确定, 因此若我们确定 $N$ 的一组元素 $(x_{j} \in N)_{1 \leq j \leq m}$ (注意这不一定是一组基) , 就可以唯一确定一个 $M$ 到 $N$ 的线性映射.

然而 $N$ 是自由模, 所以我们有 $x_{j} = \sum_{1 \leq i \leq n} r_{i} s_{i}$ . 如果我们一组 $(r_{i})_{1 \leq i \leq n}$ , 则 $x_{j}$ 又可以被唯一确定. 那么综上所述, 在选定了有序基 $(r_{j} \in M), (s_{i} \in N)$ 的前提下, 只要确定一族 $[r_{i} j \in R]$ , 便可以确定一个 $M$ 到 $N$ 的线性映射. 这恰恰是一个 $m \times n$ 矩阵, 且不难看出这和我们之前讨论的态射的矩阵是相同的, 因为 $r_{i} j$ 同样可以看成一个 $R \to R$ 的线性映射.

一个 $m \times 1$ 的矩阵称为行向量 (row vector), $1 \times n$ 的矩阵则称为列向量 (column vector). 不难看出, 给定一组有序基, 一个行向量可以表示 $M$ 的元素, 而列向量则表示 $N$ 的元素. 下面我们暂时不区分向量和其表示的元素.

定义 1.8.3.1 (行空间和列空间). 设 $A$ 是环 $R$ 上的 $m \times n$ 矩阵, 并将 $A$ 的行和列分别看作自由模 $R^{m}$ , $R^{n}$ 的元素 (取典范基) . $A$ 的所有行生成的模叫做行空间 (row space), 列生成的模叫做列空间 (column space).

可以看出, 如果线性映射 $f : M \to N$ 能够表示为 $A$ , 则 $A$ 的列空间同构于 $im f$ . 进一步我们知道初等行运算 (交换行, 或将行相加/相减, 或乘以标量) 并不改变列空间 (证明初等, 因此不再赘述) , 所以通过计算列空间的维度, 可以得知 $rank f = dim im f$ . 我们因此也把列空间的维度 (秩) 称为矩阵的秩.

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1.8. 基与矩阵

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1.8.2矩阵的加法和乘法

1.8.3向量空间里的矩阵代数