2.4. 有限域及其多项式环的进一步结果

本节延续前文设定: 1. $\mathbb{k}$ 表示具有自同构 $\theta$ 的有限域. 2. ${\mathbb{k}}_0$ 为 $\mathbb{k}$ 在 $⟨\theta ⟩$ 下的不动子域, 满足$$[\mathbb{k}:{\mathbb{k}}_0]=m=|⟨\theta ⟩|.$$

有限域 $\mathbb{k}$ 自然构成 ${\mathbb{k}}_0$-向量空间, 维数为 $m$. 令 ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 表示 $\mathbb{k}$ 作为 ${\mathbb{k}}_0$-空间的线性映射全体 (同构于 $M_m({\mathbb{k}}_0)$). 注意以下事实: 1. 通过右乘映射, ${\mathbb{k}}_0$ 可自然等同于 ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 的中心. 2. 类似地, $\mathbb{k}$ 可通过右乘映射嵌入为 ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 的子环. 3. 自同构 $\theta$ 是 ${\mathbb{k}}_0$-线性映射, 且 $⟨\theta ⟩$ 是 ${\text{GL}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 的子群.

我们关注由 $\mathbb{k}$ 和 $⟨\theta ⟩$ 在 ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 中生成的子环. 令 $(\mathbb{k},\theta )$ 表示该子环. 注意 $(\mathbb{k},\theta )$ 是半线性群环: 1. 作为 $\mathbb{k}$-向量空间, 其基为 $\{1,\theta ,{\theta }^2,\dots ,{\theta }^{m-1}\}$. 2. 乘法运算由下式定义: $${\theta }^i\cdot \alpha ={\theta }^i(\alpha ){\theta }^i(\alpha \in \mathbb{k}),$$$${\theta }^i\cdot {\theta }^j={\theta }^{i+j},$$并满足分配律.

定理 2.4.1 (II.15). ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})=(\mathbb{k},\theta )$, 从而 $(\mathbb{k},\theta )\cong M_m({\mathbb{k}}_0)$.

证明. 由于 $(\mathbb{k},\theta )$ 的 ${\mathbb{k}}_0$-维数为 $m^2$, 与 ${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})$ 的维数相等, 故二者相等.

$\square$

推论 2.4.2 (II.16).

(a)	${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})\cong \mathbb{k}[X;\theta ]/(X^m-1)$.
(b)	${\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})\cong \mathbb{k}[Y;\theta ]/(Y^m-Y)$.

证明. 自然环同态 $\iota :\mathbb{k}[X;\theta ]\to (\mathbb{k},\theta )$ 的核为由 $X^m-1$ 生成的双边理想.

$\square$

进一步考察 $\mathbb{k}$ 中包含 ${\mathbb{k}}_0$ 的子域及其生成的子环结构. 设 ${\mathbb{k}}_1$ 为满足 ${\mathbb{k}}_0\subseteq {\mathbb{k}}_1\subset \mathbb{k}$ 的子域, 则存在整数 $s$ 使得 $m=ts$, $[\mathbb{k}:{\mathbb{k}}_1]=t$, $[{\mathbb{k}}_1:{\mathbb{k}}_0]=s$, 且 ${\mathbb{k}}_1={\mathbb{F}}_{q^s}$, $\mathbb{k}={\mathbb{F}}_{q^{ts}}$.

定理 2.4.3 (II.17).

(a)	(Brawley, Carlitz, Vaughn) $({\mathbb{k}}_1,\theta )$ 同构于 $s\times s$ 矩阵环 $M_s(R)$, 其中 $R={\mathbb{k}}_0[X]/(X^t-1)$.
(b)	(Ore) $({\mathbb{k}}_0,\theta )\cong {\mathbb{k}}_0[X]/(X^m-1)$.

证明. 通过构造基与线性映射的同构关系完成证明.

$\square$

考虑自同构 $\theta$ 作为 ${\mathbb{k}}_0$-线性映射的中心化子$$C(\theta )=\{\varphi \in {\text{End}}_{{\mathbb{k}}_0}(\mathbb{k})\mid \theta \circ \varphi =\varphi \circ \theta \},$$及其不变子空间.

定理 2.4.4 (II.18).

(a)	$C(\theta )=\{a_0+a_1\theta +\cdots +a_{m-1}{\theta }^{m-1}\mid a_i\in {\mathbb{k}}_0\}$.
(b)	$C(\theta )\cong {\mathbb{k}}_0[X]/(X^m-1)$.

证明. 通过验证中心化子元素形式及多项式环同构可得结论.

$\square$

定理 2.4.5 (II.19 (Dedekind)). 设首一多项式 $f\in {\mathbb{k}}_0[X]$ 的素因子分解为 $f=p_1^{e_1}\cdots p_s^{e_s}$, 则$$\varphi (f)=|f|\prod _{i=1}^s\left(1-\frac{1}{|p_i|}\right),$$其中 $|f|=q^{\mathrm{deg}(f)}$, $\varphi (f)$ 表示与 $f$ 互素且次数小于 $\mathrm{deg}(f)$ 的多项式个数.

定理 2.4.6 (II.20). 设 $N$ 为 $\mathbb{k}$ 在 ${\mathbb{k}}_0$ 上的正规基个数, 则$$N=\frac{1}{m}\varphi (X^m-1).$$

定理 2.4.7 (II.21). $\theta$-不变 ${\mathbb{k}}_0$-子空间个数等于 $X^m-1$ 在 ${\mathbb{k}}_0[X]$ 中的首一因子个数.

定理 2.4.8 (II.22). 设 $V$ 为 $\theta$-不变 ${\mathbb{k}}_0$-子空间, $(a,\theta (a),\dots ,{\theta }^{m-1}(a))$ 为正规基, 则存在首一因子 $f\mid X^m-1$ 使得:

(a)	$V=\{[h(\theta )f(\theta )](a)\mid h\in {\mathbb{k}}_0[X]\}$.
(b)	若 $fg=X^m-1$, 则 $g$ 为 $\theta {|}_V$ 的最小多项式与特征多项式.
(c)	$\dim (V)=\mathrm{deg}(g)$.
(d)	$[f(\theta )](a)$ 是 $V$ 的循环向量.
(e)	$V=\ker (g(\theta ))$.