2.3. 斜多项式环

本节固定以下记号: 1. $k$ 表示有限域, $θ$ 是 $k$ 的自同构, 且 $∣ ⟨ θ ⟩ ∣ = m$ . 2. $k_{0}$ 表示 $k$ 在 $⟨ θ ⟩$ 下的不动子域. 因此 $m = [k : k_{0}]$ . 进一步, 若 $k_{0} = F_{q}$ (其中 $q = p^{t}$ , $p$ 为素数), 则 $k = F_{q^{m}}$ , 且 $θ : α \mapsto α^{q}$ 对所有 $α \in k$ 成立.

在上述记号下, 定义斜多项式环 $k [X; θ]$ 为所有形如 $α_{0} + α_{1} X + \dots + α_{n} X^{n}$ 的多项式集合, 其中 $α_{i} \in k$ , $X$ 为未定元, $n = 0, 1, 2, \dots$ . 多项式的相等与加法按标准方式定义, 乘法由分配律及关系 $(a X^{i}) (b X^{j}) = a θ^{i} (b) X^{i + j}$ 给出. $k [X; θ]$ 在上述运算下构成环, 称为 $k$ 上关于自同构 $θ$ 的斜多项式环.

若 $f = α_{0} + α_{1} X + \dots + α_{n} X^{n}$ 满足 $α_{n} \neq = 0$ , 则称 $f$ 的次数为 $n$ , 记作 $de g (f) = n$ . 定义 $de g (0) = - \infty$ . 以下引理易证 (假设 $- \infty$ 满足通常运算规则).

引理 2.3.1 (II.10). 对任意 $f, g \in k [X; θ]$ :

(a)	$de g (f + g) \leq max {de g (f), de g (g)}$ .
(b)	$de g (f g) = de g (f) + de g (g)$ .

该引理表明 $k [X; θ]$ 无零因子, 且其单位群由次数为 0 的多项式 (即 $k$ 中的标量) 构成.

定理 2.3.2 (II.11 (除法算法)). 设 $f, g \in k [X; θ]$ 且 $f \neq = 0$ . 则存在多项式 $q$ 和 $r$ 使得 $g = q f + r 且 de g (r) < de g (f) .$

证明. 若

de g (g) < de g (f)

, 取

q = 0

,

r = g

. 假设

de g (g) \geq de g (f)

, 设

g = α_{0} + α_{1} X + \dots + α_{t} X^{t}, f = β_{0} + β_{1} X + \dots + β_{s} X^{s} .

通过归纳法可完成证明.

$□$

上述结果为 “右除” $f$ . 类似地, 存在多项式 $q_{1}$ 和 $r_{1}$ 使得 $g = f q_{1} + r_{1} 且 de g (r_{1}) < de g (f) .$

选取 $k [X; θ]$ 中的非零左理想 $I$ , 并在 $I$ 中选取次数最低的非零多项式 $f$ . 对任意 $g \in I$ , 有 $g = q f + r$ 且 $de g (r) < de g (f)$ . 由于 $r = g - q f \in I$ , 由 $f$ 的最小性知 $r = 0$ , 即 $g = q f$ . 因此 $I$ 为主左理想. 类似地, 每个右理想也是主理想. 故 $k [X; θ]$ 为非交换主理想整环.

接下来描述 $k [X; θ]$ 的双边理想. 设 $I$ 为双边理想, 则作为左理想 $I = k [X; θ] f$ , 作为右理想 $I = f k [X; θ]$ . 因此存在多项式 $s$ 和 $t$ 使得 $f s = g 且 t g = f .$ 由于 $t f \in I$ , 存在 $t^{'}$ 使得 $t f = f t^{'}$ . 于是 $f = t g = t f s = f t^{'} s$ . 由于 $k [X; θ]$ 为整环, 得 $t^{'} s = 1$ , 即 $s$ 为 $k$ 中的单位. 类似地, $t$ 也是单位, 故 $f k [X; θ] = k [X; θ] f = I$ . 即任意左生成元也是右生成元, 反之亦然.

设 $f = a_{0} X^{k} + a_{1} X^{k + 1} + \dots + a_{n} X^{k + n}$ 生成 $I$ . 显然 $X^{k}$ 生成双边理想, 且可证明 $a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}$ 生成双边理想. 因此可假设 $f = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}$ 且 $a_{0} \neq = 0$ . 若 $g \in k$ , 则 $g f = f g^{'}$ 对某个 $g^{'} \in k [X; θ]$ 成立. 通过次数分析知 $de g (g^{'}) = 0$ , 即 $g^{'} \in k$ . 于是 $f g = (a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n}) g = a_{0} g + a_{1} θ (g) X + \dots + a_{n} θ^{n} (g) X^{n} .$ 由于 $f g = g f$ , 必须有 $g = θ (g) = θ^{2} (g) = \dots = θ^{n} (g) .$ 由于 $g$ 任意, $θ$ 的阶 $m = ∣ ⟨ θ ⟩ ∣$ 必须整除 $f$ 中每个 $X$ 的幂次, 即 $f = a_{0} + a_{1} X^{m} + a_{2} X^{2 m} + \dots + a_{n} X^{nm} .$

定理 2.3.3 (II.12). 若多项式 $f$ 生成 $k [X; θ]$ 的双边理想, 则 $f$ 具有形式 $(a_{0} + a_{1} X^{m} + \dots + a_{n} X^{nm}) X^{k},$ 其中 $m = ∣ ⟨ θ ⟩ ∣$ .

注意到 $k_{0} [X] = {a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n} X^{n} ∣ n = 0, 1, \dots; a_{k} \in k_{0}}$ 构成 $k [X; θ]$ 的交换子环; 且若 $k [X^{m}] = {a_{0} + a_{1} X^{m} + \dots + a_{n} X^{nm} ∣ n = 0, 1, \dots; a_{k} \in k},$ 则 $k [X; θ]$ 的中心为 $k_{0} [X] \cap k [X^{m}],$ 即所有系数在 $k_{0}$ 中的 $X^{m}$ 的多项式.

定理 2.3.4 (II.13). 映射 $ϕ : k [X; θ] \to k [Y; θ], ϕ (a X^{i}) = a Y^{i}$ 定义了斜多项式环 $k [X; θ]$ 与 Ore 多项式环 $k [Y; θ]$ 之间的环同构.

定理 2.3.5 (II.14). 两个多项式 $f$ 和 $g$ 在 $k [Y; θ]$ 中的最大右公因子等于它们的普通最大公因子.

上述定理表明, $k [Y; θ]$ (从而 $k [X; θ]$ ) 中的计算可归结为普通多项式算术.

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