2.2. 有限除环

本节将证明所有有限除环均为域. 首先需要研究有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的多项式 $X^n-1$.

显然, $X^n-1$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 中有 $n$ 个不同的根, 这些根构成循环群 $T_n$. 令 $\varphi (n)$ 为 Euler 函数, 则 $T_n$ 有 $\varphi (n)$ 个生成元. 这些生成元称为本原 $\mathbf{n}$ 次单位根. 设 $\zeta$ 为固定的本原 $n$ 次单位根, 则$$T_n=\{{\zeta }^1,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{n-1},{\zeta }^n=1\}.$$定义$${\Phi }_n(X)=\prod _{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}(X-{\zeta }^k),$$其根恰为本原 $n$ 次单位根. 多项式 ${\Phi }_n(X)$ 称为第 $\mathbf{n}$ 分圆多项式. 易证$$X^n-1=\prod _{d\mid n}{\Phi }_d(X).$$

引理 2.2.1. 第 $n$ 分圆多项式 ${\Phi }_n(X)$ 的系数为有理整数.

证明. 使用数学归纳法. 注意到 ${\Phi }_n(X)$ 为首一多项式, 且 ${\Phi }_1(X)=X-1$, ${\Phi }_2(X)=X+1$. 由于$$X^n-1=\prod _{d\mid n}{\Phi }_d(X),$$可得递推关系 ${\Phi }_n(X)=(X^n-1)/{\prod }_{d\mid n,d<n}{\Phi }_d(X)$. 由归纳假设, 分母部分属于 $\mathbb{Z}[X]$, 结合 $\mathbb{Z}[X]$ 的欧几里得性即得结论.

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引理 2.2.2. 若 $0<r<n$ 且 $r\mid n$, 则 ${\Phi }_n(X)$ 在 $\mathbb{Z}[X]$ 中整除$$\frac{X^n-1}{X^r-1}.$$

证明. 由 2.2.1 知 ${\Phi }_n(X)\in \mathbb{Z}[X]$. 显然 ${\Phi }_n$ 整除 $X^n-1=(X^r-1)\cdot \frac{X^n-1}{X^r-1}$, 且当 $r\mid n$ 时 ${\Phi }_n(X)$ 与 $X^r-1$ 无公共根, 故结论成立.

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考虑群 $G$ 通过共轭作用于自身: 对每个 $g\in G$, 定义$${\rho }_g:G\to G,{\rho }_g(h)=gh{g}^{-1}=h^g.$$

对元素 $h\in G$, 其轨道为 $[h]=\{h^g\mid g\in G\}$, 稳定子群为 $I(h)=\{g\in G\mid h^g=h\}$. 轨道长度满足 $|[h]|=[G:I(h)]$. 由轨道分解可得类方程: $$|G|=\sum _h[G:I(h)]=|Z(G)|+\sum _{h\notin Z(G)}[G:I(h)],$$其中 $Z(G)$ 表示 $G$ 的中心.

定理 2.2.3 (II.9 (Wedderburn)). 有限除环必为域.

证明. 设 $D$ 为有限除环, $\mathbb{k}=\{z\in D\mid zd=dz\forall d\in D\}$ 为其中心. 显然 $\mathbb{k}$ 为有限域, 设 $|\mathbb{k}|=q=p^m$. 由于 $D$ 是 $\mathbb{k}$-向量空间, 设其维数为 $n$, 则 $|D|=q^n$.

若 $n=1$, 则 $D=\mathbb{k}$, 命题成立. 假设 $n>1$, 考虑单位群 $D^{\times }=D\setminus \{0\}$ 的共轭作用. 对任意 $a\in D$, $I(a)\cup \{0\}$ 构成子除环且包含 $\mathbb{k}$. 因此存在 $r$ 使得 $|I(a)|=q^r-1$, 其中 $r\mid n$.

由类方程: $$q^n-1=(q-1)+\sum \frac{q^n-1}{q^r-1},$$其中求和遍历 $n$ 的某些真因子 $r$. 根据引理 (II.8), ${\Phi }_n(q)$ 整除每个 $\frac{q^n-1}{q^r-1}$, 从而 ${\Phi }_n(q)\mid (q-1)$.

然而在复数域中, $$|{\Phi }_n(q)|=\prod _{\begin{array}{c}1\le k\le n\\ \gcd (k,n)=1\end{array}}|q-{\zeta }^k|\ge (q-1{)}^{\varphi (n)}.$$当 $n>1$ 且 $q\ge 2$ 时, $(q-1{)}^{\varphi (n)}>q-1$, 导致矛盾. 故假设不成立, 即 $n=1$, $D=\mathbb{k}$ 为域.

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