2.1. 有限域及其多项式环

有限环的理论与有限域密切相关. 本节回顾有限域的基本性质.

令 $Z$ 表示有理整数环, 商环 $Z_{m}$ 中的陪集 $a + m Z$ 通常简记为 $a$ . 若 $k$ 是有限域, 则其特征为 $χ (k) = p$ (素数), 且 $k$ 包含 $Z_{p}$ . 令 $\overline{k}$ 表示 $k$ 的代数闭包 (参见习题 II.19).

定理 2.1.1 (II.1). 设 $k$ 是特征为 $p$ 的有限域. 则:

(a)	$k$ 的基数 $∣ k ∣ = p^{n}$ , 其中 $n = [k : Z_{p}]$ 为 $k$ 在 $Z_{p}$ 上的次数.
(b)	$k$ 的单位群 $k^{\times}$ 构成一个阶为 $p^{n} - 1$ 的循环乘法群.
(c)	若 $k_{1}$ 是 $k$ 的子域, 则 $k$ 是 $k_{1}$ 的单扩张. 具体地, $k^{\times}$ 的生成元也将生成 $k$ 在 $k_{1}$ 上的扩张.
(d)	对每个自然数 $n$ , 定义 $k_{n} = {a \in \overline{Z_{p}} ∣ a^{p^{n}} - a = 0} .$ 则 $k_{n}$ 是含 $p^{n}$ 个元素的域, 且 $k_{n}$ 是 $\overline{Z_{p}}$ 中唯一的 $p^{n}$ 元域. 特别地, $k = k_{n}$ .
(e)	设 $k_{1}$ 是 $k$ 的子域. 则 $k$ 在 $k_{1}$ 上可分, 且对任意 $a \in k$ , $a$ 在 $k_{1}$ 上的不可约多项式 $Irr (a, k_{1})$ 是 $X^{p^{n}} - X$ 在 $k_{1} [X]$ 中的因子.

证明. 对于 (a), 注意 $k$ 是 $Z_{p}$ 上的 $n$ 维向量空间. (b) 的证明基于以下观察: 域上多项式在其域内至多有 $de g (f)$ 个不同根. 由于 $k^{\times}$ 是阶为 $p^{n} - 1$ 的阿贝尔群, 对任意 $a \in k^{\times}$ , 有 $a^{p^{n} - 1} = 1$ . 结合阿贝尔群结构定理可得 $k^{\times}$ 为循环群. (c) 是显然的.

对于 (d), 所有

\overline{Z_{p}}

中的

p^{n}

元子域均包含于

k_{n}

. 由于

X^{p^{n}} - X

的导数为 -1, 该多项式可分且在

\overline{Z_{p}}

中有

p^{n}

个不同根. 验证

k_{n}

对加法和乘法封闭后可知其为有限域. (e) 的结论直接由多项式整除性关系得出.

$□$

对素数 $p$ , 上述域 $k_{n}$ 记作 $F_{q}$ (其中 $q = p^{n}$ ), 称为含 $q$ 个元素的伽罗瓦域. 通常将 $\overline{k}$ 与 $\overline{Z_{p}}$ 等同, 并将 $k$ 视为 $\overline{Z_{p}}$ 中的某个 $k_{n}$ .

定理 2.1.2 (II.2). 设 $q = p^{t}$ , 其中 $p$ 为素数.

(a)	在 $F_{q} [X]$ 中, 对每个自然数 $n$ , 存在次数为 $n$ 的不可约多项式.
(b)	域 $F_{q^{n}}$ 是 $F_{q} [X]$ 中所有次数为 $n$ 的不可约多项式的分裂域.
(c)	设 $g$ 是 $F_{q} [X]$ 中次数为 $d$ 的不可约多项式. 则 $g$ 整除 $X^{q^{n}} - X$ 当且仅当 $d$ 整除 $n$ .
(d)	若 $F_{q} [X]$ 中的不可约多项式 $g$ 在 $F_{q^{n}}$ 中有根, 则其在 $F_{q^{n}} [X]$ 中分解为线性因子.
(e)	多项式 $X^{q^{n}} - X$ 是 $F_{q} [X]$ 中所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式的乘积.

上述定理的证明均为直接推导.

在考察有限域的自同构前, 我们回顾 $F_{q} [X]$ 的其他性质. 设 $q = p^{t}$ , 考虑 $F_{q} [X]$ . 令 $Δ$ 表示所有次数 $d$ 为 $n$ 的真因子 (即 $d ∣ n$ 且 $1 \leq d < n$ ) 的首一不可约多项式的乘积. 则 $Δ = L.C.M. {X^{τ (u)} - 1},$ 其中 $τ (u) = q^{u} - 1$ 且 $u$ 遍历 $n$ 的真因子. 令 $g = X^{q^{n}} - X$ (显然 $Δ ∣ g$ ), 并定义 $Γ (n, q) = \frac{g}{Δ} .$ 则 $Γ (n, q)$ 是 $F_{q} [X]$ 中所有次数为 $n$ 的首一不可约多项式的乘积.

设 $n = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{s}^{e_{s}}$ 为素因子分解, $Σ = {p_{1}, \dots, p_{s}}$ . 对 $Σ$ 的每个 $t$ -元子集 $Σ_{t} \subseteq Σ$ , 定义商 $m (Σ_{t}) = \frac{n}{p _{i_{1}} \dots p _{i_{t}}},$ 其中 $m (Σ_{0}) = n$ . 注意存在 $(t s)$ 个这样的子集 $Σ_{t}$ , 且 $m (Σ_{t})$ 是 $n$ 的真因子.

令 $ν (n, q)$ 表示 $F_{q} [X]$ 中次数为 $n$ 的首一不可约多项式的个数. 注意到 $de g Γ (n, q) = n ν (n, q)$ .

定理 2.1.3 (II.3 (Dedekind 不可约多项式公式)). 对上述符号:

(a)	若 $Δ_{0} = \prod_{0 < 2 t < s} λ_{2 t}$ 且 $Δ_{1} = \prod_{1 < 2 t + 1 < s} λ_{2 t + 1}$ , 则 $Γ (n, q) = \frac{Δ _{0}}{Δ _{1}} .$
(b)	$ν (n, q) = \frac{1}{n} [q^{n} - \sum q^{n / p_{1}} + \sum q^{n / p_{1} p_{2}} - \dots + (- 1)^{s} q^{n / p_{1} \dots p_{s}}] .$ 通过 Möbius 反演可得: $q^{n} = d ∣ n \sum d ν (d, q) .$

证明. (A. A. Albert) 由于

λ_{0} = g

是可分多项式, 每个次数为

n

的首一不可约多项式均为

λ_{0}

的因子且不被任何

λ_{k}

(

k > 0

) 整除. 对

Δ_{0} / Δ_{1}

的因子进行组合计数后可得结论.

$□$

定理 2.1.4 (II.4). 每个函数 $f : F_{q} \to F_{q}$ 均可唯一表示为形式次数 $q - 1$ 的多项式: $f (X) = a \in F_{q} \sum f (a) (1 - (X - a)^{q - 1}) .$ 反之, 若有限交换环 $R$ 中每个函数 $R \to R$ 均可由多项式表示, 则 $R$ 必为有限域.

对 $F_{q}$ 中元素 $a_{0}, \dots, a_{n - 1}$ , 方阵 $⎣ ⎡ a_{0} a_{1} ⋮ a_{n - 1} a_{1} a_{2} ⋮ a_{0} \dots \dots ⋱ \dots a_{n - 2} a_{n - 1} ⋮ a_{n - 3} a_{n - 1} a_{0} ⋮ a_{n - 2} ⎦ ⎤$ 称为循环矩阵.

定理 2.1.5 (II.5 (König-Rados)). 多项式 $f (X) = \sum_{i = 0}^{q - 2} a_{i} X^{i}$ 在 $F_{q} [X]$ 中不同非零根的个数等于其系数循环矩阵的秩.

证明. 通过构造范德蒙德矩阵并分析其秩与根的关系可得结论.

$□$

令 $G_{K} (L)$ 表示域扩张 $L / K$ 的 $K$ -自同构群. 对 $q = p^{n}$ , 映射 $θ : F_{q} \to F_{q}, θ (x) = x^{q}$ 称为 $F_{q}$ 的 Frobenius 自同构.

定理 2.1.6 (II.6).

(a)

Frobenius 自同构 $θ$ 满足:

(i)	若 $F_{q} \subseteq k \subseteq \overline{F_{q}}$ , 则 $θ$ 是 $k$ 的 $F_{q}$ -自同构.
(ii)	$F_{q^{s}} = {a \in \overline{F_{q}} ∣ θ^{s} (a) = a}$ .
(iii)	$⟨ θ ⟩$ 是 $G_{F_{q}} (\overline{F_{q}})$ 的无限循环子群.

(b)

映射 $n \mapsto F_{q^{n}}$ 定义了自然数与有限域集合 $F (q) = {k ∣ F_{q} \subseteq k \subseteq \overline{F_{q}}}$ 的双射, 满足 $m ∣ n$ 当且仅当 $F_{q^{m}} \subseteq F_{q^{n}}$ .

有限域是完美域, 即其特征为 $p$ 时满足 $k^{p} = k$ . 特别地, 每个不可约多项式在有限域上均为可分多项式.

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