11. 覆盖空间 (I): 基础知识

覆盖空间系多值函数的摩登化身, 且在诸多数学分支中有重要地位. 本节及今后几节之目的为介绍覆盖空间的 Galois 理论, 即将一固定空间之上的覆盖空间与此空间之基本群建立联系. 事实上, 一空间之上容许何种覆盖空间存在, 即空间上 “覆盖空间构成之范畴”, 是此空间之 “拓扑不变量”. 本节及今后几节将从此观点出发而导出一些拓扑定理, 比如 Jordan 的曲线定理.

覆盖空间理论与域的 Galois 理论殊为相似. 至于如何将覆盖空间之理论系统地移植到代数中, 建议读者阅读 A. Grothendieck 与 M. Raynaud 的著作 Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1).

11.1空间上的空间

在这一节, 我们将不断使用 “空间上的空间” 这个概念. 回忆, 一个拓扑空间 $B$ 上的空间是指一个偶对 $(E,p)$, 其中 $E$ 是拓扑空间, $p:E\to B$ 是连续映射. 而 $B$ 上的空间 $(E,p)$ 到 $(E^{\prime },p^{\prime })$ 之间的态射 (morphism) 是指满足性质 $p^{\prime }\circ f=p$ 的连续映射 $f:E\to E^{\prime }$. 如果态射 $f:(E,p)\to (E^{\prime },p^{\prime })$ 是同胚, 则称 $f$ 为 $B$ 空间之间的同构.

平展分离空间

若 $(E,p)$ 是拓扑空间 $B$ 上的空间, 对任意 $b\in B$, 我们用 $E_b$ 来代表 $p^{-1}(b)$, 并称它为 $b$ 的纤维 (fiber). 我们称 $(E,p)$ 是分离 (separated) 的 $B$ 上的空间, 如果 $p$ 是分离的连续映射, 即对任何 $b\in B$, 任何不同的 $x,y\in E_b$, 存在 $E$ 中分别包含 $x,y$ 的开集 $U,V$, 使得 $U\cap V=\varnothing$. 我们称 $(E,p)$ 为平展 (étale) 的 $B$ 上的空间, 如果 $p$ 是局部同胚. 关于 $B$ 上的平展分离空间, 我们证明过如下结论.

命题 11.1.1. 令 $B$ 为拓扑空间. 令 $(E,p)$ 是平展且分离的 $B$ 上的空间, 则对任何 $B$ 上的拓扑空间 $(E^{\prime },p^{\prime })$, 任何两个态射 $f,g:(E^{\prime },p^{\prime })\to (E,p)$, 集合$$\{x\in E^{\prime }:f(x)=g(x)\}$$在 $E^{\prime }$ 的子空间拓扑下既开又闭.

局部连通拓扑空间上的连通平展分离空间的 “同构类” 构成集合 (回忆: 所有集合不构成集合). 这断言的严格叙述如下.

命题 11.1.2. 令 $B$ 为局部连通拓扑空间. 则存在集族 $\mathcal{C}$, 满足如下条件.

$\diamond$	每个 $\mathcal{C}$ 中的成员都是 $B$ 上的拓扑空间 $(E,p)$,
$\diamond$	每个连通的平展分离的 $B$ 上空间同构于唯一的一个 $\mathcal{C}$ 中成员.

证明. 在证明中我们将不断使用所谓的 Schröder–Bernstein 定理: 如果存在单射 (满射) $f:P\to Q$, 则 $\mathrm{Card}(P)\le \mathrm{Card}(Q)$ ($\mathrm{Card}(P)\ge \mathrm{Card}(Q)$).

只要证明每个连通的 $B$ 上的平展分离空间 $(E,p)$ 的拓扑空间 $E$ 的基数不超过一个固定的基数即可: 在一个基数 $\beth$ 上一切可能的拓扑结构是它的幂集的子集, 而从 $\beth$ 到 $B$ 的映射是 $\beth \times B$ 的子集. 而为了控制 $E$ 的基数, 只需证明对任何 $b\in B$, $E_b$ 的基数可以被一致地控制. 为此, 设 $\mathcal{W}$ 是 $B$ 的一个拓扑基. 只需证明如下不等式: $$\mathrm{Card}{E}_b\le \sup \{\mathrm{Card}\mathcal{W},\mathrm{Card}\mathbb{N}\}$$

由于 $B$ 局部连通, 无妨设 $\mathcal{W}$ 中的成员是连通的. 我们称 $\mathcal{W}$ 中的序列 $(U_1,\dots ,U_n)$ 为一个 $\mathcal{W}$-链, 如果 $U_i\cap U_{i+1}$ 非空, 对一切 $i=1,2,\dots ,n-1$ 成立. 所有 $\mathcal{W}$-链的集合的基数不超过 $\sup \{\mathrm{Card}\mathcal{W},\mathrm{Card}\mathbb{N}\}$. 称 $E$ 中开集序列 $(V_1,\dots ,V_n)$ 在 $\mathcal{W}$-链 $(U_1,\dots ,U_n)$ 之上, 如果

$\diamond$	$p(V_i)=U_i$, $p$ 诱导了 $V_i$ 与 $U_i$ 的同胚,
$\diamond$	$V_i\cap V_{i+1}$ 非空对一切 $i=1,2,\dots ,n-1$ 成立, 且 $p(V_i\cap V_{i+1})=U_i\cap U_{i+1}$.

如果 $(V_1,\dots ,V_n)$ 与 $(V_1^{\prime },\dots ,V_n^{\prime })$ 都在同一个 $\mathcal{W}$-链之上, 且 $V_1\cap V_1^{\prime }$ 非空, 那么必有 $V_i=V_i^{\prime }$. 事实上, $U_1\to V_1\to E$ 与 $U_1\to V_1^{\prime }\to E$ 是两个从连通 $B$-空间 $U_1$ 到 $E$ 的态射, 它们在 $p(V_1\cap V_1^{\prime })$ 上有相同的取值, 因此根据命题 11.1.1, 必有 $V_1=V_1^{\prime }$. 重复这个过程, 就完成了断言的证明.

定义 $E$ 上的关系 $\sim$ 如下, $x\sim x^{\prime }$ 当且仅当存在序列 $(V_1,\dots ,V_n)$, 满足如下条件:

1.	$x\in V_1$, $x^{\prime }\in V_n$,
2.	$(V_1,\dots ,V_n)$ 在某个 $\mathcal{W}$-链之上.

显然, 这是个等价关系, 且它的等价类是开集. 由于 $E$ 连通, 这个关系只有一个等价类.

对 $x_0\in E$, 令集合 ${\mathcal{C}}_{x_0}$ 为所有的有限序列 $(V_1,\dots ,V_n)$, 它在某个 $\mathcal{W}$-链之上, 且 $x_0\in V_1$. 利用前述断言, $(V_1,\dots ,V_n)\mapsto (p(V_1),\dots ,p(V_n))$ 为单射. 因此 ${\mathcal{C}}_{x_0}$ 的基数不超过 $\sup \{\mathrm{Card}\mathcal{W},\mathrm{Card}\mathbb{N}\}$. 对任意 $x\in E_b$, 令 ${\mathcal{C}}_{x_0,x}$ 为 ${\mathcal{C}}_{x_0}$ 的子集, 它的元素为序列 $(V_1,\dots ,V_n)$, 其中 $x\in V_n$. 则 ${\mathcal{C}}_{x_0,x}$ 非空, 且两两不交. 因此它们的并的基数也不超过 $\sup \{\mathrm{Card}\mathcal{W},\mathrm{Card}\mathbb{N}\}$. 最后, 映射 $\phi :{\bigcup }_{x\in E_b}{\mathcal{C}}_{x_0,x}\to E_b$, 将 ${\mathcal{C}}_{x_0,x}$ 映成 $x$, 是满射. 从而 $E_b$ 的基数也不超过 $\sup \{\mathrm{Card}\mathcal{W},\mathrm{Card}\mathbb{N}\}$.

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紧合空间

见紧合映射.

纤维空间

在拓扑学和其它数学中, 最重要的一类 “空间上的空间” 是纤维空间.

定义 11.1.3. 令 $B$ 为拓扑空间.

1.	$B$ 上的以拓扑空间 $F$ 为纤维型的平凡纤维丛 (trivial fiber bundle) 是 $B$ 空间 $(B\times F,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$.
2.	$B$ 空间 $(E,p)$ 叫做 $B$ 上的可平凡化 (trivializable) 纤维丛, 如果存在拓扑空间 $F$, 使得 $(E,p)$ 作为 $B$ 空间同构 (定义 ??) 于平凡纤维丛 $(B\times F,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$. 任何 $B$ 空间的同构$$u:(E,p)\to (B\times F,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$$都叫做 $(E,p)$ 的一个平凡化 (trivialization).
3.	拓扑空间 $B$ 上的局部平凡纤维空间 (locally trivial fiber space), 或纤维丛 (fiber bundle) 是一个 $B$ 空间 $(E,p)$, 满足如下条件: 任意 $b\in B$ 都有一个邻域 $V$, 使得 $(p^{-1}(V),p{|}_{p^{-1}(V)})$ 是可平凡化的 $V$ 空间.

注 11.1.4. 根据定义, 若 $(E,p)$ 是拓扑空间 $B$ 上的纤维空间, 那么 $B$ 的子集$$\{b\in B:E_b=\varnothing \},\{b\in B:E_b\ne \varnothing \}=p(E)$$是 $B$ 的互补开子集. 特别地, $p(E)$ 是 $B$ 的既开又闭的子空间. 因此, 如果 $B$ 是连通拓扑空间, $E$ 非空, 那么 $p$ 是满射.

若 $(E,p)$ 是拓扑空间 $B$ 上的纤维空间, $(U_i{)}_{i\in I}$ 是 $B$ 的开集, 满足 $(E_i,p_i)=(E{\times }_B{U}_i,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_2)$ 是可平凡化的. 那么拓扑空间 $E$ 可以被看作是将平凡纤维空间 $(U_i\times F,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1{)}_{i\in I}$ 粘合而成. 这个观点将在今后不断出现.

例 11.1.5. 商映射 $\eta :{\mathbb{S}}^{2n+1}\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 是局部平凡的纤维空间, 它的纤维型是圆周 ${\mathbb{S}}^1$.

事实上, 令 $U_i$ 为由 $z_i\ne 0$ 所定义的 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 的开子空间. 则我们定义 $U_i\times {\mathbb{S}}^1$ 与 ${\eta }^{-1}(U_i)$ 之间的同胚如下: $${\phi }_i([z_0:\cdots :z_n],\lambda )=\frac{\lambda |z_i|}{\sqrt{{\sum }_{j=0}^n|z_j{|}^2}}(z_i^{-1}{z}_0,\dots ,z_i^{-1}{z}_n).$$容易验证 $\eta \circ {\phi }_i={\mathrm{p}\mathrm{r}}_1$. 因此 $\eta$ 是局部平凡的.

命题 11.1.6. 任何闭区间 $[a,b]$ 上的纤维空间都是可平凡化的.

证明与命题 9.3.2 完全雷同.

定义 11.1.7. 设 $(E,p)$ 是拓扑空间 $B$ 上的局部平凡纤维空间. $f:B^{\prime }\to B$ 为连续映射. 令 $(E^{\prime },p^{\prime })=(E{\times }_B{B}^{\prime },{\mathrm{p}\mathrm{r}}_2)$ 为底变换. 则 $(E^{\prime },p^{\prime })$ 是拓扑空间 $B^{\prime }$ 上的局部平凡拓扑空间. 它叫做 $(E,p)$ 通过 $f$ 的拉回 (pullback), 或者叫做 $(E,p)$ 通过 $f$ 诱导的纤维空间 (induced fiber space). 有时我们使用记号 $f^{\ast }(E,p)$, 甚至 $f^{\ast }(E)$, 来代表 $(E^{\prime },p^{\prime })$. 称 $(B^{\prime },f)$ 平凡化了 $B$ 上的纤维空间 $(E,p)$, 如果 $f^{\ast }(E,p)$ 是 $B^{\prime }$ 上的可平凡化纤维空间.

如果 $(U_i{)}_{i\in I}$ 是拓扑空间 $B$ 的开覆盖, 且在每个 $U_i$ 上 $(E,p)$ 是可平凡化的. 那么对任何连续映射 $f:B^{\prime }\to B$, 诱导纤维空间在 $f^{-1}(U_i)$ 上是可平凡化的.

定义 11.1.8. 称拓扑空间 $B$ 上的空间 $(E,p)$ 为 $B$ 的覆盖空间 (covering space), 如果 $(E,p)$ 是 $B$ 上的局部平凡纤维空间, 并且它的纤维都是离散的.

注 11.1.9.

1.	定义 9.1.1 与定义 11.1.8 是等价的. 事实上, 如果 $F$ 是离散拓扑空间, 那么对任何拓扑空间 $B$, $B\times F$ 与不交并 ${\coprod }_{i\in F}B$ 是同胚的.
2.	任何覆盖空间都是平展且分离的.
3.	若 $(E,p)$ 是 $B$ 上的覆盖空间, 对 $b\in B$, 定义 ${\mathrm{deg}}_b(E,p)=\mathrm{Card}{E}_b$. 则 $b\mapsto {\mathrm{deg}}_b(E,p)$ 是局部常值函数. 如果 $B$ 是连通的, 则 ${\mathrm{deg}}_b(E,p)$ 与 $b$ 选择无关. 此时称它为覆盖 $(E,p)$ 的次数或层数.

11.2覆盖空间的基本性质

可平凡化覆盖空间

我们要经常用到如下局部连通空间的性质.

命题 11.2.1. 设 $B$ 是拓扑空间, $(E,p)$ 是 $B$ 上的空间. 若 $E$ 局部连通, 则 $(E,p)$ 是覆盖空间的必要充分条件是, 对任意 $b\in B$, 存在其邻域 $U$, 使得 $p^{-1}(U)$ 的每个连通分支都同胚于 $U$.

证明. 设 $(E,p)$ 是 $B$ 的覆盖空间. 由于 $p$ 是局部同胚, $p(E)$ 也局部连通. 设 $U$ 为 $b\in B$ 的连通邻域, 且 $(E,p)$ 被 $U$ 平凡化. 则 $p^{-1}(U)={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$ 是连通开集的不交并. 因此每个 $U_i$ 都是 $p^{-1}(U)$ 的连通分支.

反之, 设 $b\in B$, $U$ 为假设中之邻域. 由于 $E$ 局部连通, $p^{-1}(U)$ 的连通分支 $V_i$ 都是 $E$ 的开集. 因此 $p^{-1}(U)={\bigcup }_{i\in I}{V}_i$ 满足性质 (EV).

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我们给出覆盖空间可平凡化的判据.

命题 11.2.2. 令 $(E,p)$ 是连通拓扑空间 $B$ 上的分离平展空间.

1.	$(E,p)$ 是可平凡化的覆盖空间必要且充分条件是, 对任意 $x\in E$, 存在截面 $\sigma :B\to E$, 使得 $\sigma (p(x))=x$.
2.	若 $B$ 局部连通, $(E,p)$ 是覆盖空间. 则 $(E,p)$ 是可平凡化的覆盖空间必要且充分条件是, 存在 $b\in B$, 使得对任意 $x\in E_b$, 都存在截面 $\sigma :B\to E$, 满足 $\sigma (b)=x$.

第 (1) 款的证明. 必要性是显然的. 令 $\Gamma$ 为 $p$ 的一切截面构成的集合, 赋予离散拓扑. 考虑映射$$\phi :B\times \Gamma \to E,(b,\sigma )\mapsto \sigma (b).$$则 $\phi$ 为连续映射. 由于 $(B\times \Gamma ,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 和 $(E,p)$ 都是平展分离空间, $p\circ \phi ={\mathrm{p}\mathrm{r}}_1$, $\phi$ 必然为局部同胚, 特别为开映射. 根据假设, $\phi$ 为满射. 为了证明 $\phi$ 是同构, 只需证明 $\phi$ 是单射. 若 $\phi (b,\sigma )=\phi (b^{\prime },{\sigma }^{\prime })$. 则 $\sigma (b)={\sigma }^{\prime }(b^{\prime })$, 因此 $b=b^{\prime }$. 由于 $\sigma (b)={\sigma }^{\prime }(b)$, $(E,p)$ 为平展分离空间, $B$ 连通, 命题 11.1.2 推出 $\sigma ={\sigma }^{\prime }$, 因此 $\phi$ 是单射, 从而是同胚.

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第 (2) 款的证明. 考虑所有满足 (2) 中条件的点构成的子空间 $B_0$. 设 $b\in B_0$. 则存在 $b$ 的连通邻域 $U$, 使得$$p^{-1}(U)=\bigcup _{i\in I}{U}_i$$其中 $U_i$ 是 $p^{-1}(U)$ 的连通分支 (命题 11.2.1). 则对任意 $b^{\prime }\in U$, 任意 $x^{\prime }\in E_{b^{\prime }}$, 存在 $i\in I$, 使得 $x^{\prime }\in U_i$. 令 $x\in U_i\cap E_b$, $\sigma$ 为经过 $x$ 的截面, 则由于 $U$ 连通, $\sigma (U)$ 也连通. 因此 $\sigma (U)=U_i$. 特别地, $\sigma (b^{\prime })=x^{\prime }$. 因此 $b^{\prime }\in B_0$. 于是 $B_0$ 是开集. $B_0$ 也是闭集合: 如果点 $b$ 有连通邻域平凡化了 $(E,p)$, 且这个邻域与 $B_0$ 相交, 那么上述论证说明这个邻域落入 $B_0$, 从而 $b$ 落入 $B_0$. 由于 $B_0$ 非空, $B$ 连通, 必有 $B=B_0$. 因此我们可以利用第 (1) 款之结论来推出本款断言.

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局部连通覆盖空间

局部连通空间的覆盖空间之间的态射是覆盖映射.

命题 11.2.3. 设 $B$ 为局部连通拓扑空间. 设 $f:(E,p)\to (E^{\prime },p^{\prime })$ 为 $B$ 上覆盖空间之间的态射. 则 $f:E\to E^{\prime }$ 为覆盖映射.

证明. 首先假设 $E=B\times F$ 与 $E^{\prime }=B\times F^{\prime }$ 为平凡覆盖空间, 且 $B$ 连通. 则存在连续映射 $g:B\times F\to F^{\prime }$, 使得 $f(b,v)=(b,g(b,v))$. 由于 $F$ 与 $F^{\prime }$ 都是离散空间, 它们的函数空间 $\mathcal{C}(F;F^{\prime })$ 也离散. 由于 $B$ 连通, $B\to \mathcal{C}(F;F^{\prime })$ 为常值. 因此存在集合之间的映射 $g:F\to F^{\prime }$, 使得 $f(b,v)=(b,g(v))$. 于是 $f^{-1}(B\times \{w\})=B\times g^{-1}(w)$ 同胚于若干个 $B\times \{w\}$ 的不交并. 因此 $f$ 是覆盖映射.

一般的情形可以转化称上面的情形. 我们取 $B$ 的连通开集 $U$, 使得 $U$ 平凡化了 $(E,p)$ 和 $(E^{\prime },p^{\prime })$, 则对 $U$, $(p^{-1}(U),p)$, $(p^{\prime -1}(U),p^{\prime })$ 应用上一段的结论即完成了证明.

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局部连通空间上的覆盖空间的一个既开又闭的子空间也是覆盖空间.

命题 11.2.4. 令 $B$ 为局部连通拓扑空间, $(E,p)$ 为 $B$ 上的覆盖空间. 若 $E^{\prime }$ 是 $E$ 的既开又闭的子空间, 则 $(E^{\prime },p{|}_{E^{\prime }})$ 为 $B$ 上的覆盖空间.

证明. 设 $b\in B$ 为任意点, $U$ 为 $b$ 的满足性质 (EV) 的连通子空间. 则根据命题 11.2.1, $p^{-1}(U)$ 的连通分支都同胚于 $U$. 若 $V$ 是其中之一, $V\cap E^{\prime }$ 非空, 由于 $V\cap E^{\prime }$ 在 $V$ 中既开又闭又非空, $V$ 的连通性保证了 $V$ 必然完全包含于 $E^{\prime }$. 因此 $p^{-1}(U)\cap E^{\prime }$ 是一些 $E^{\prime }$ 的同胚于 $U$ 的不交开集的并, 因此 $E^{\prime }$ 是 $B$ 的覆盖空间.

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覆盖空间与同伦

本段的目的是证明下面的定理.

定理 11.2.5. 令 $B$ 为拓扑空间, $(E,p)$ 为 $B$ 上覆盖空间. 设 $f,g:B^{\prime }\to B$ 连续映射, 且 $f$ 与 $g$ 同伦. 则 $f^{\ast }(E,p)$ 与 $g^{\ast }(E,p)$ 作为 $B^{\prime }$ 上的覆盖空间是同构的.

而定理 11.2.5 是下述定理的推论.

定理 11.2.6. 设 $B$ 为拓扑空间. 令 $(E,p)$ 为 $B\times [0,1]$ 上的覆盖空间. 记 $(E^{\prime },p^{\prime })=(E,p){|}_{B\times 0}$ 为 $B$ 上的覆盖空间. 则 $(E,p)$ 同构于 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1^{\ast }(E^{\prime },p^{\prime })$.

定理 11.2.5 之证. 设 $h:B^{\prime }\times [0,1]\to B$ 为 $f,g$ 之间的同伦. 则 $h^{\ast }(E,p)$ 为 $B^{\prime }\times [0,1]$ 上的覆盖空间. 由于它在 $B^{\prime }\times \{0\}$ 上的限制同构于 $f^{\ast }(E)$, 定理 11.2.6 推出 $h^{\ast }(E,p)\cong {\mathrm{p}\mathrm{r}}_1^{\ast }(f^{\ast }(E))$. 特别地, 它在 $B^{\prime }\times \{t\}$ 上的限制都同构于 $f^{\ast }(E)$. 取 $t=1$ 就得到了 $g^{\ast }(E)\cong f^{\ast }(E)$.

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定理 11.2.6 之证. 首先考虑最简单的情况, $E$ 是 $B\times [0,1]$ 上的平凡覆盖空间 $B\times [0,1]\times F$. 由于 $(E_0,p_0)$ 此时也是平凡的, ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1^{\ast }(E_0,p_0)$ 也是平凡的. 平凡覆盖当然同构于平凡覆盖.

平凡覆盖 $B\times [0,1]\times F$ 到自己的同构必然形如$$(b,t,v)\mapsto (b,t,g(b,t,v)),$$其中 $g(b,t,v)$ 是从 $B\times [0,1]\times F$ 到 $F$ 的连续映射. 由于 $[0,1]$ 连通, $F$ 离散, $g(b,t,v)=g(b,0,v)$ 与 $t$ 无关. 因此 $g(b,t,v)$ 完全由它在 $B\times \{0\}$ 上的值决定. 因此只有唯一的同构在 $(E_0,p_0)$ 上诱导了恒等映射.

为了完成证明, 我们给出两个引理.

引理 11.2.7. 设 $\alpha \le \beta \le \gamma$ 为实数. 如果 $X_1=E{|}_{B\times [\alpha ,\beta ]}$ 可平凡化, 且 $X_2=E{|}_{B\times [\beta ,\gamma ]}$ 可平凡化, 那么 $E{|}_{B\times [\alpha ,\gamma ]}$ 可平凡化.

这是粘贴引理的推论. 具体步骤留给读者作练习.

引理 11.2.8. 设 $b\in B$. 存在 $b$ 的邻域 $U$, 使得 $E{|}_{U\times [0,1]}$ 可平凡化.

引理 11.2.8 之证. 对每个 $(b,t)\in B\times [0,1]$, 存在形如 $U_{\alpha ,\beta }\times \left]\alpha ,\beta \right[$ 的开集包含 $(b,t)$, 且 $E{|}_{U\times \left]\alpha ,\beta \right[}$. 对固定的 $b$, 这些 $(\alpha ,\beta )$ 构成了 $[0,1]$ 的开覆盖. 由于有限个 $\left]\alpha ,\beta \right[$ 就可以覆盖住 $[0,1]$, 对应的 $U_{\alpha ,\beta }$ 的交 $U$ 仍然是 $B$ 的开集. 根据 Lebesgues 数引理, 存在分划 $0=a_0\le \cdots \le a_n=1$, 使得 $E$ 被每个 $U\times [a_i,a_{i+1}]$ 平凡化. 累次利用引理 11.2.7 即可.

证明的完成. 将 $B$ 用满足引理 11.2.8 条件之开集 $U$ 覆盖. 在每个 $U\times [0,1]$ 上, 利用定理的 “平凡情况”, 可知存在同构 ${\phi }_U:(E,p){|}_{U\times [0,1]}\to {\mathrm{p}\mathrm{r}}_1^{\ast }(E_0,p_0)$, 并且 ${\phi }_U$ 在 $U\times \{0\}$ 上为恒等映射. 我们只需验证 ${\phi }_U$ 可以 “粘” 出一个同构. 为此, 要验证$${\phi }_U{|}_{(U\cap V)\times [0,1]}={\phi }_V{|}_{(U\cap V)\times [0,1]},$$其中 $U$, $V$ 都是满足引理 11.2.8 之结论的开集.

事实上, ${\phi }_U\circ {\phi }_V^{-1}$ 是平凡覆盖 $E{|}_{(U\cap V)\times [0,1]}$ 的自同构, 根据定理 11.2.5 的 “平凡情况”, 它只有一个自同构在 $(U\cap V)\times \{0\}$ 上诱导恒等映射. 因此必然有 ${\phi }_U\circ {\phi }_V^{-1}=\mathrm{I}\mathrm{d}$. 这就完成了定理的证明.

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定义 11.2.9. 称拓扑空间 $B$ 为单连通 (simply connected) 空间, 若 $B$ 非空, 且其上的覆盖空间都是可平凡化的.

若 $B$ 单连通, 则 $B$ 连通. 事实上, 如果 $U$ 是 $B$ 的既开又闭又非空的真子空间, 包含映射 $U\to B$ 为不可平凡化的覆盖映射.

系 11.2.10. 可缩空间是单连通的.

11.3Galois 覆盖

关于底变换的补充

在开始讲解 Galois 理论之前, 我们对诱导纤维空间 (或 “底变换”) 追加几个评注. 我们从一个例子开始讲起.

令 $B=\{(b,c)\in {\mathbb{C}}^2:b^2-4c\ne 0\}$. 则 $B$ 上有覆盖空间$$X=\{(x,b,c)\in \mathbb{C}\times B:x^2+bx+c=0\}.$$令 $p:X\to B$ 为覆盖映射. 这不是一个平凡覆盖, $p$ 也不允许截面, 因为 $X$ 是连通的. 另一方面, 求根公式告诉我们, 对固定的 $b,c$, 有 $x=\frac{1}{2}(-b\pm \sqrt{b^2-4c})$. 可惜, 当 $b,c$ 在 $B$ 中变化时, $\sqrt{b^2-4c}$ 不是 $B$ 上良好定义的函数 (它是一个 “多值函数”). 为了能够考虑这个 “多值函数”, 我们引入一个新的空间$$B^{\prime }=\{(\Delta ,b,c)\in {\mathbb{C}}^{\ast }\times B:{\Delta }^2=b^2-4c\}.$$则容易验证 $(\Delta ,b,c)\mapsto (b,c):B^{\prime }\to B$ 仍然是覆盖映射. 在新的空间 $B^{\prime }$ 上, $\Delta$ 就是一个无歧义的函数了. 如果把 $X$ 看作 $B^{\prime }$ 上的覆盖空间, 即考虑底变换 $B^{\prime }{\times }_{B}X$, 那么在每个 $(\Delta ,b,c)$ 点之上对应的方程的两个解就可以用 “单值函数” 表达:$$s_{+}:(\Delta ,b,c)\mapsto \frac{1}{2}(-b+\Delta ),s_{-}:(\Delta ,b,c)\mapsto \frac{1}{2}(-b-\Delta ).$$如何计算 $B^{\prime }{\times }_{B}X$? 按照定义:$$B^{\prime }{\times }_{B}X=\{((\Delta ,x,b,c))\in {\mathbb{C}}^4:{\Delta }^2=b^2-4c,x^2+bx+c=0,\Delta \ne 0\}.$$而我们刚刚定义的两个映射 $s_{+},s_{-}$ 则给出了 $B^{\prime }$ 到 $X$ 的两个截面: $(\Delta ,b,c)\mapsto (\Delta ,s_{\pm }(\Delta ,b,c),b,c)$. 它们平凡化了 $B^{\prime }{\times }_{B}X$.

三次方程 $x^3+px+q$ 也有求根公式. 令 $\Delta (p,q)=q^2/4+p^3/27$, 则上述方程的根可以用根式表达:$$x=C-\frac{p}{3C},\text{其中 }C=\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta (p,q)}}.$$这个式子表明, 若 $B=\{(p,q)\in {\mathbb{C}}^2:\Delta (p,q)\ne 0\}$, $X=\{(x,p,q)\in \mathbb{C}\times B:x^3+px+q=0\}$, 则覆盖空间 $X\to B$ 不平凡, 但是可以利用两次底变换 “变平凡”:其中$$\begin{array}{rl}{B}_1& =\{(y_1,p,q)\in \mathbb{C}\times B:y_1^2=\Delta (p,q)\},\\ B_2& =\{(y_2,y_1,p,q)\in \mathbb{C}\times B_1:y_2^3=q/2-y_1\}.\end{array}$$注意, 此时 $B_2$ 不是 $B_1$ 的覆盖映射, 它是紧合的, 但在有限个点附近不平展. 我们需要 “扔掉” 这些不平展的纤维和它们的像才能得到覆盖映射. 因此, 我们称 $f_2$ 是 “分歧覆盖”. 不论如何, 将 “坏的点” 丢到之后, 求根公式就能够给出三个截面, 从而在 $B_2$ 挖掉坏点之后平凡化 $X_2$.

对一般的方程, 能够通过怎样的底变换最终得到平凡覆盖, 反映了方程的复杂程度. 这也是我们考虑下面理论的初衷.

Galois 覆盖与 Galois 群

定义 11.3.1. 令 $(E,p)$ 为拓扑空间 $B$ 上的覆盖空间. 我们称一个从 $E$ 到自己的 $B$ 空间同构为 $(E,p)$ 的自同构 (automorphism). 一切 $(E,p)$ 的自同构构成群 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E,p)$ (或简写为 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$). 这个群的单位元是恒等映射, 逆元由逆映射给出.

定义 11.3.2. 称连通拓扑空间 $B$ 上的覆盖空间 $(E,p)$ 为 Galois 覆盖, 或正规覆盖 (normal covering), 或正则覆盖 (regular covering), 如果 $E$ 是连通的, 且对一切 $b\in B$, 使得群 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 在 $E_b$ 上的作用是可迁的. 此时, ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 也叫做覆盖 $(E,p)$ 的 Galois 群.

命题 11.3.3. 设 $B$ 是连通拓扑空间, $(E,p)$ 是 $B$ 上连通非空覆盖空间. 则下面陈述等价.

1.	$(E,p)$ 是 Galois 覆盖空间.
2.	$(E,p)$ 上的覆盖空间 $(E{\times }_{B}E,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 是可平凡化的. 如果 $B$ 局部连通, 那么上面的陈述还等价于
3.	存在 $b\in B$, 使得 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 在 $E_b$ 上的作用是可迁的.

证明. (1) $\Rightarrow$ (2). 对任意 $x\in E$, $(x,y)\in E{\times }_{B}E$, 存在 $E$ 的自同构 $\sigma \in {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$, 使得 $\sigma (x)=y$. 定义$$s:E\to E{\times }_{B}E,s(u)=(u,\sigma (u)).$$则 $s$ 是覆盖空间 $(E{\times }_{B}E,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 的截面, 满足 $s(x)=(x,y)$. 根据命题 11.2.2, $(E{\times }_{B}E,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 可平凡化.

(2) $\Rightarrow$ (1). 令 $b\in B$, $x,y\in E_b$. 则 $(x,y)$ 是 $E{\times }_{B}E$ 中的点. 由于 $(E{\times }_{B}E,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 可平凡化, 存在截面 $s:E\to E{\times }_{B}E$ 满足 $s(x)=(x,y)$. 将 $s$ 写作 $u\mapsto (u,\phi (u))$. 则 $\phi$ 是从覆盖空间 $(E,p)$ 到自己的态射, $\phi (x)=y$. 类似地, 存在覆盖空间 $(E,p)$ 到自己的态射 $\psi$, 满足 $\psi (y)=x$. 于是 $\phi \circ \psi$ 和 $\psi \circ \phi$ 分别固定 $y$ 和 $x$. 根据命题 11.1.1, $\phi$ 与 $\psi$ 互为逆映射, 从而 $\phi$ 为自同构.

在 $B$ 局部连通时, 第三款与前两款的等价性留作习题.

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例 11.3.4.

1.	任何连通二层覆盖都是 Galois 覆盖. 事实上, 将纤维上一点换作纤维上另一点给出了这个覆盖的自同构. 因此自同构群在纤维上的作用可迁.
2.	覆盖映射 $t\mapsto {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}:\mathbb{R}\to {\mathbb{S}}^1$ 是 Galois 覆盖. 事实上, 自同构 $\{a\mapsto a+n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ 可迁地作用于于纤维上. 容易验证, 覆盖 $z\mapsto z^n:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{S}}^1$ 也是 Galois 覆盖.
3.	考虑映射$$p:\mathbb{C}\setminus \{\pm 1,\pm 2\}\to \mathbb{C}\setminus \{\pm 2\},p(z)=z^3-3z.$$则 $p$ 是紧合的局部同胚, 因此是覆盖映射. 我们断言 $p$ 不是 Galois 覆盖. 为此, 考虑 $E$ 上的覆盖空间 $E{\times }_{B}E$. 它是 ${\mathbb{C}}_{z,w}^2$ 中的 “代数曲线” $$C=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:z^3-3z=w^3-3w\}.$$去掉有限个点后得到的. 然而$$C=\{(z,z)\in {\mathbb{C}}^2\}\cup C^{\prime }$$其中$$C^{\prime }=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:z^2+zw+w^2=3\}.$$(注意 $C^{\prime }\cap \{(z,z)\}$ 非空, 但是交点不落在 $E{\times }_{B}E$ 里.) 我们断言 $C^{\prime }$ 连通, 并且它挖去有限个点后是 $E$ 的连通二层覆盖空间. 因此 $E{\times }_{B}E$ 不是平凡覆盖. 为此, 注意到 $C^{\prime }$ 是流形, 且存在连续双射$$\mathbb{C}\setminus \{\omega ,{\omega }^2\}\to C^{\prime },t\mapsto \left(\frac{-3t(t+1)}{t^2+t+1}+1,\frac{-3(t+1)}{t^2+t+1}+1\right)$$(其中 $\omega$ 是三次单位根), 因此 $C^{\prime }$ 连通, 从而 $C^{\prime }$ 挖掉有限个点之后仍然连通.
4.	设 $E$ 是连通且局部连通拓扑空间, 且群 $G$ 在 $E$ 上有均匀 (见 9.1.4) 的左作用. 则 $E$ 是 $B=G\backslash E$ 上覆盖空间 (命题 9.1.5). 事实上, $E$ 是 $B$ 上的 Galois 覆盖, 并且 Galois 群同构于 $G$. 首先, 按照定义, 任何 $g\in G$ 都是从 $E$ 到自己的 (作为 $B$ 上空间的) 自同构. 根据均匀的定义, 不同的 $g$ 对应不同的自同构. 因此我们有包含关系: $G\subset {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$. 由于 $G$ 已经可迁地作用于纤维上了, ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 也可迁地作用于纤维之上, 从而证明了 $E\to B$ 是 Galois 覆盖. 最后, 我们还要说明 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)=G$. 固定 $b\in B$, $x\in E_b$. 对任何 $\sigma \in {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$, 令 $y=\sigma (x)\in E_b$. 由于存在 $g\in G$, $g(x)=y$, 由于 $g$ 与 $\sigma$ 在一点处相等, $E$ 连通, 根据命题 11.1.1, 必有 $g=\sigma$. 于是 $G={\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$.

Galois 理论基本定理

定义 11.3.5. 设 $(E,p)$ 为连通拓扑空间 $B$ 上的 Galois 覆盖. 我们称覆盖空间 $(E^{\prime },p^{\prime })$ 从属于 $(E,p)$, 如果诱导覆盖 $(E{\times }_B{E}^{\prime },{\mathrm{p}\mathrm{r}}_1)$ 是可平凡化的.

定义 11.3.6. 令 $G$ 为群. 一个 (右) $G$-集合是指一个偶对 $(S,\mu )$, 其中 $S$ 为集合, $\mu$ 为 $G$ 在 $S$ 上的右作用. 若 $(S,\mu )$ 与 $(S^{\prime },{\mu }^{\prime })$ 为 $G$-集合, 它们之间的一个态射 (morphism) 是一个映射$$f:S\to S^{\prime },\text{满足}f(x\cdot g)=f(x)\cdot g,\forall (g,x)\in G\times S.$$两个 $G$-集合之间态射的集合记做 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(S,S^{\prime })$. 如果态射 $f$ 是双射, 则称它为同构 (isomorphism).

定理 11.3.7 (Galois 理论基本定理的花哨版本). 设 $B$ 为连通且局部连通拓扑空间, $b\in B$ 为点. 设 $(E,p)$ 为 $B$ 上 Galois 覆盖, Galois 群为 $G$. 则存在下面两个 “集合” 之间的 “典则” 一一对应: $$\frac{\{\text{从属于}(E,p)\text{的覆盖空间}\}}{\text{覆盖空间同构}}\stackrel{\Phi }{\to }\frac{G\text{-集合}}{\text{同构}}$$若覆盖 $(X_1,p_1)$, $(X_2,p_2)$ 在上述典则对应下分别对应于 $S_1$, $S_2$, 存在典则的双射$$\Phi (X_1,X_2):{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(X_1,X_2)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(S_1,S_2).$$

注 11.3.8. (1) 上面的陈述有严重的集合论错误, 因为一切 $G$ 集合不构成集合, 我们不能谈论不是集合的 “东西” (所谓的真类) 之间的映射. 上述定理的第一部分应该如此陈述:

(i)	对任何从属于 $(E,p)$ 的覆盖空间 $(X,q)$ 都可以指定一个 $G$-集合 $S=\Phi (X,q)$;
(ii)	$(X_1,p_1)$ 和 $(X_2,p_2)$ 同构当且仅当指定的 $G$-集合也同构;
(iii)	任何 $G$-集合都同构于某个 $G$-集合, 后者来自于某个从属于 $(E,p)$ 的覆盖空间.

(2) 喜欢使用 “范畴学” 语言的同学可以这样理解上述基本定理: 从属于覆盖空间 $(E,p)$ 的 $B$ 上的覆盖空间 (以及它们之间的态射) 所构成的 “范畴” 通过 “函子” $\Phi$ 而 “等价” 于 $G$-集合 (以及它们之间的态射) 构成的 “范畴”.

基本定理的证明

在这一小段中, 我们固定连通且局部连通拓扑空间 $B$ 上的 Galois 覆盖空间 $(E,p)$. 令 $G={\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E,p)$.

11.3.9 ($\Phi$ 的定义). 对任何从属于 $(E,p)$ 的覆盖空间 $(X,q)$, 定义 $\Phi (X,q)$ 为 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(E,X)$. 定义群 $G={\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 在 $\Phi (X,q)$ 上的右作用如下: 对任意 $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(E,X)$, $\sigma \in G$, $$f\cdot \sigma =f\circ \sigma .$$由于 $E{\times }_{B}X$ 是 $E$ 上可平凡化的覆盖空间, 以及 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(E,X)$ 一一对应于 $E{\times }_{B}X$ 在 $E$ 上的截面, 根据命题 11.2.2 的证明, 我们有同构$$u:\Phi (X,q)\times E\stackrel{(s,y)\mapsto (y,s(y))}{\to }E{\times }_{B}X.$$(11.1)特别地, $\mathrm{Card}\Phi (X,q)={\mathrm{deg}}_{B}X$. 所以, $\Phi (X,q)$ 可以被直观认为是 $E{\times }_{B}X$ 的 “层” 构成的集合.

设 $\phi :(X_1,q_1)\to (X_2,q_2)$ 为 $B$ 上覆盖空间的态射. 定义 $\Phi (\phi ):\Phi (X_1,q_1)\to \Phi (X_2,q_2)$ 为 $s\mapsto \phi \circ s$. 于是我们得到了映射$$\Phi :{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(X_1,X_2)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(\Phi (X_1,q_1),\Phi (X_2,q_2)).$$(11.2)

由于 $\phi$ 也诱导了 $E$ 上覆盖空间的态射$${\phi }^{\prime }={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E{\times }_B\phi :E{\times }_B{X}_1\to E{\times }_B{X}_2,$$在同构 (11.1) 之下, ${\phi }^{\prime }$ 给出了某个映射 $\Phi (X_1,q_1)\times E\to \Phi (X_2,q_2)\times E$. 我们断言, 它不是别的, 正是 $\Phi (\phi )\times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$. 换言之, 下面的图表是交换的(11.3)

交换性的证明完全是检验定义. 对 $(s,y)\in \Phi (X_1,q_1)\times E$, 有 $u(s,y)=(y,s(y))$, 故而 ${\phi }^{\prime }(u(s,y))=(y,\phi (s(y)))$. 另一方面, $(\Phi (\phi )\times \mathrm{I}\mathrm{d})(s,y)=(s\circ \phi ,y)$, 所以 $u(\Phi (\phi )\times \mathrm{I}\mathrm{d})(s,y)=(y,(\phi \circ s)(y))=(y,\phi (s(y)))$. 从而图表交换.

11.3.10 (使用 $\Phi (X,q)$ 重构出 $X$). 设 $(X,q)$ 是 $B$ 上从属于 $(E,p)$ 的覆盖空间. 令 $S={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(E,X)$. 赋予 $S$ 离散拓扑. 则我们可以在 $S\times E$ 上定义群 $G$ 的左作用$$\sigma \cdot (s,y)=(s\circ {\sigma }^{-1},\sigma (y)).$$

考虑映射 $v:={\mathrm{p}\mathrm{r}}_2\circ u:S\times E\to X$, $(s,y)\mapsto s(y)$. 则 $v$ 在每个 $G$ 的轨道上都是常数. 另一方面, 如果 $v(s,y)=v(s^{\prime },y^{\prime })$, 则 $s(y)=s^{\prime }(y^{\prime })$. 由于 $G$ 在 $E_{s(y)}$ 上有可迁作用, 存在 $\sigma \in G$, 使得 $\sigma (y)=y^{\prime }$. 从而 $(s^{\prime },y^{\prime })\cdot \sigma =(s,y)$. 这说明了 $G$ 的轨道恰好是 $v$ 的纤维. 由于 $v$ 是覆盖映射的复合, 它是开映射, 从而是商映射. 故而根据商空间的性质, 典则映射 $G\backslash (S\times E)\to X$ 是同胚.

11.3.11 (“满性”). 接下来我们来证明映射 (11.2) 是满射. 为方便计, 令 $S_i=\Phi (X_i,q_i)$. 任给 $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_G(S_1,S_2)$, 映射$$\tilde{f}:=f\times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_E:S_1\times E\to S_2\times E$$是连续的, 并且对任何 $\sigma \in G$, 有 $\tilde{f}(\sigma (s,y))=\sigma \cdot \tilde{f}(s,y)$. 利用 11.3.10 段的结论, 上面对 $G$ 作用的尊重诱导了商空间之间的连续映射$$\phi :X_1=G\backslash (S_1\times E)\to G\backslash (S_2\times E)=X_2.$$利用交换图 11.1, $\Phi (\phi )=f$. 这就证明了满性.

11.3.12 (“忠实性”). 接下来我们来证明映射 (11.2) 是单射. 仍记 $S_i=\Phi (X_i,q_i)$. 设有 ${\phi }_1,{\phi }_2\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_B(X_1,X_2)$, 满足 $\Phi ({\phi }_1)=\Phi ({\phi }_2)$. 则根据交换图 (11.3), 我们有 ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_E{\times }_B{\phi }_1={\mathrm{I}\mathrm{d}}_E{\times }_B{\phi }_2$. 由于 $E{\times }_B{X}_1\to X_1$ 是满射, 上面的等式推出 ${\phi }_1={\phi }_2$.

11.3.13 (任何 $G$-集合都来自 $B$ 的从属于 $E$ 的覆盖空间). 令 $S$ 为 $G$-集合. 在 $S\times E$ 上, 定义 $G$ 的群作用为$$\sigma (s,y)=(s\cdot {\sigma }^{-1},\sigma \cdot y).$$定义 $X=G\backslash (S\times E)$. 它带有自然的投影映射 $q:X\to B$. 由于 $G$ 在 $E$ 上的作用是均匀 (定义 9.1.4) 的, $G$ 在 $S\times E$ 上的作用也是均匀的 (习题 11.5.10). 从而商映射 $S\times E\to X$ 是覆盖映射, 因此 $S\times E\to E{\times }_{B}X$ 是连续双射, 又是覆盖映射. 因此它们同胚. 特别地, $X\to B$ 也是覆盖映射. 因此 $X$ 是从属于 $E$ 的覆盖空间, 并且 $S\cong \Phi (X)$.

至此, 我们完成了基本定理的证明.

11.4主纤维空间与上同调

11.5习题

11.5.1. 举例说明:

1.	平展分离空间未必是覆盖空间.
2.	若不假设 $\mathcal{C}$ 中成员连通, 则命题 11.1.2 不对.
3.	若不假设 $B$ 连通, 则命题 11.2.2 中两款都不对.
4.	若不假设 $B$ 局部连通, 则命题 11.2.3 不对. [一个例子如下: 考虑 $0$ 和所有 $1/n$ 的并 $B$. 记它纤维为 $\mathbb{N}$ 的平凡覆盖为 $E$, $E\setminus \{(0,0)\}=E^{\prime }$. 证明 $E^{\prime }\to B$ 仍然是平凡覆盖. 但是 $E^{\prime }\to E$ 的包含映射不是覆盖映射. ]
5.	若不假设 $B$ 局部连通, 则命题 11.2.2(2) 不对.
6.	若不假设 $B$ 局部连通, 则命题 11.2.4 不对. [一个例子如下: 考虑第 4 问例子中的 $E$ 和 $B$, 则 $K=\{(1/n,n)|n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\subset E$ 既开又闭, 但 $K\to B$ 不是覆盖映射.]

11.5.2. 证明引理 11.2.7.

11.5.3. 设 $B=U\cup V$ 是两个连通开集的并. 假设 $U\cap V$ 也连通. 令 $(E,p)$ 为 $B$ 上的覆盖空间, 且 $U$ 和 $V$ 都平凡化了 $E$. 证明 $E$ 在 $B$ 上是可平凡化的. 由此说明, 如果 $U$ 和 $V$ 单连通, 那么 $B$ 是单连通的. 所以, ${\mathbb{S}}^n$ 在 $n\ge 2$ 时是单连通的.

11.5.4. 设 $B=\{(a_0,\dots ,a_{n-1})\in {\mathbb{C}}^n:P_a(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0\text{ 无重根}\}$. 令 $E=\{(x,a)\in \mathbb{C}\times B:P_a(x)=0\}$. 证明 $p:E\to B$, $p(x,a)=a$ 是覆盖映射. 证明, 除非 $n=1$, 否则 $(E,p)$ 不可平凡化.

11.5.5 (代数基本定理的又一证明). 还没做这个题的同学不用做了:D

11.5.6. 若 $B$ 是 $\mathbb{R}$ 中的区间, 证明 $B$ 上的任意纤维空间都可平凡化.

11.5.7. 令 $P(z),Q(z)\in \mathbb{C}[z]$ 是多项式. 令 $B=\{z\in \mathbb{C}:Q(z)\ne 0\}$, $X=\{(x,z)\in \mathbb{C}\times B:x^n=P(z)/Q(z)\}$. 则 $p:X\to B,p(x,z)=z$ 是 “分歧覆盖” (即在有限个点之外是覆盖映射). 找出 $B$ 的最大开集 $B^{\prime }$, 使得 $X^{\prime }=B^{\prime }{\times }_{B}X$ 是 $B^{\prime }$ 上的覆盖空间. 计算 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_{B^{\prime }}(X^{\prime })$. $X^{\prime }$ 是 $B^{\prime }$ 的 Galois 覆盖吗?

11.5.8. 考虑映射$$p:E=\mathbb{C}\setminus \{0,\pm \mathrm{i},\pm \sqrt{2}\mathrm{i}\}\to B=\mathbb{C}\setminus \{0,1\},p(z)=(z^2+1{)}^2.$$由于 $p$ 是紧合的局部同胚, 它是覆盖映射. 求 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$. 证明 $(E,p)$ 不是 $B$ 的 Galois 覆盖.

11.5.9. 假设 $B$ 局部连通. 证明命题 11.3.3 的第三款与前两款等价.

11.5.10.

1.	验证, 若 $E$ 是连通且局部连通拓扑空间 $B$ 上的 Galois 覆盖, 且 $G$ 是 Galois 群. 则 $G$ 在 $E$ 上的作用是均匀的, 并且 $B\cong G\backslash E$.
2.	设 $G$ 是群, 它在拓扑空间 $Y$ 上有均匀的作用. 令 $S$ 为右 $G$-集合. 赋予 $S$ 离散拓扑. 证明作用$$g\cdot (s,y)=(s{g}^{-1},gy)$$是 $G$ 在 $S\times Y$ 上的均匀作用.

11.5.11 (可迁的 $G$-集合).

1.	设 $G$ 是群. $S$ 是 $G$-集合. 证明 $G_s=\{g\in G:s\cdot g=s\}$ 是 $G$ 的子群.
2.	设 $S$ 是可迁的 $G$-集合, $s,t\in S$. 证明存在 $g\in G$, 使得 $g{G}_s{g}^{-1}=\{gh{g}^{-1}\in G:h\in G_s\}$ 等于 $G_t$.
3.	设 $G$ 是群, $H$ 是 $G$ 的子群. 定义 $H\backslash G$ 为等价关系$$g\sim g^{\prime }\iff \exists h\in H,hg=g^{\prime }$$的等价类构成的集合. $G$ 在 $H\backslash G$ 上有右作用 $[g^{\prime }]\cdot g=[g^{\prime }g]$. 验证这个作用良好定义, 且证明 $H\backslash G$ 是可迁的 $G$-集合.
4.	任何对可迁的 $G$-集合 $S$, $S$ 同构于 $G_s\backslash G$, 其中 $s\in S$ 为任意一点.

11.5.12 (传统的 Galois 对应). 设 $B$ 是拓扑空间. $(E,p)$ 是 $B$ 上 Galois 覆盖空间. 则 $(E,p)$ 的一个中间覆盖 (intermediate covering) 是指一个 $B$ 上连通覆盖空间的态射 $(E,p)\to (X,q)$. 称两个中间覆盖 $s_1:(E,p)\to (X_1,q_1)$ 与 $s_2:(E,p)\to (X_2,q_2)$ 等价 (equivalent), 如果存在同构 $\tau :(X_1,q_1)\to (X_2,q_2)$, 使得 $\tau \circ s_1=s_2$.

证明: $(E,p)$ 的中间覆盖的等价类与 ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_B(E)$ 的子群通过下述方式一一对应: $$\boxed{s:(E,p)\to (X,q)}⟷{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}}_s\Phi (X,q):=\boxed{\{\sigma \in G:s\cdot \sigma =s\}}$$